Gli insiemi infiniti
Georg Cantor
Biblioteca Nacional
Pierre de Fermat
Tempesta di fulmini
Kurt Gödel
Alan Turing
Apple
Eclissi Sole
Internet Connection
Lago ghiacciato
Cielo sereno
Giovanni Pascoli
Riviera Ligure
Place de l'Opéra
Angelo Custode
Ostia mare
Grenoble
Wanderers Nachtlied
La Guisane
Il viandante notturno
Luci nebbiose
Charles Aznavour
Metro B
Picasso
Pythía
Bvd Saint-Germain
Torre dell'Orologio
Regulus
Himera
Galileo Galilei
Luna cinerea
Chiaro di Terra
La Ville lumière
Atma
Fermata autobus
Le Berlaymont
Giuseppe Mazzini
Campidoglio
Astri
Gottfried Leibnitz
Giacomo Leopardi
Christian Wolff
Blaise Pascal
Lindsay Kemp
San Gennaro
Victor Hugo
Principe Myškin
Fëdor Dostoevskij
Paul Ricoeur
Grazia Deledda
August Pott
Luna dell'alba
Il jinn
Alberto Moravia
Carla, "Gli indifferenti"
Lou Andreas-Salomé
Arcus Novus
Raccordo autostradale
Funicolare Mergellina
Piazza Barberini
Platone
Pescara
Sulmona
Ninfee
Stazione Tiburtina
Stromboli
Emanuele Severino
Franz Kafka
Ruta (Genova)
Il ripostiglio
Aristotele
Luigi Pirandello
Epicuro
Hannah Arendt
Friedrich Hölderlin
Søren Kierkegaard
Scriptorium
Cascate Niagara
Cimitero Verano
Mickail Bulgakov
Circeo
John Steinbeck
Riconciliazione
Wolfgang von Goethe
Napoli
Jacques Derrida
Immanuel Kant
Plotino
Sabina Spielrein
La Sapienza
Aspasia di Mileto
Henry Colebrooke
Klara Pölzl
L'Agnello
Eugenio Montale
La Sorbonne
Roma Eur
Socrate
Werner Heisenberg
Romano Guardini
Eraclito
Teofrasto
Aristotele
Platone
Umberto Galimberti
Jorge Luis Borges
Beate Carmelitane
Statua Dante Parigi
Dante Alighieri
Calliope
Socrate
La Louve
Praga
‘Kde domov muj’? ‘Dov’è la mia patria?’ Non è un inno di guerra, non auspica la rovina di nessuno, canta senza retorica il paesaggio della Boemia con i suoi colli e pendii, le pianure e le betulle, i pascoli e i tigli ombrosi, i piccoli ruscelli. Canta il paese dove siamo a casa nostra, è stato bello difendere questa terra, bello amare la nostra patria (Milena Jesenskà)
Copenaghen
Bruxelles Louiza
“Dobbiamo pensare che ciascuno di noi, esseri viventi, è come una prodigiosa marionetta realizzata dalla divinità, per gioco o per uno scopo serio, questo non lo sappiamo." (Platone, Leggi, 1, 644e)
6 commenti:
GLI INSIEMI INFINITI
La dimostrazione “matematica” dell’esistenza del quàdrolo, il cerchio quadrato, rifletteva Ettorino, condividendo i dubbi dello zio Evaristo, espressi da lui stesso nel formulare il suo teorema, non era certo in grado di risolvere il problema “mistico”, che si poneva dal Medio Evo, di far aderire il quadrato della Terra al cerchio divino del Cielo. Ma soprattutto lasciava molto a desiderare la dimostrazione, non era una dimostrazione era un abbozzo di enunciazione del problema. Era mai possibile che lo zio Evaristo avesse potuto annotare quelle poche righe e definirle la dimostrazione matematica di un teorema ritenuto da sempre irrisolvibile? Anche se poi l’equivalenza tra l’area del cerchio e quella di un poligono (triangolo) era già stata trovata da Archimede, che aveva indicato la strada per il calcolo degli infinitesimali già (2x + 23 = 24 + 42 - x) secoli fa? Ettorino esitò, era esatta l’equazione lineare che indicava la distanza in secoli tra il teorema di Archimede e quello di Evaristo? Scusate, non il teorema, ma l’enunciazione… il tentativo… il calcolo… l’approccio… dello zio. Ettorino capì che la testa gli girava, riprendiamoci e risolviamo l’equazione: 2x + 8 = 16 +16 - x. Allora, 2x = 32 - 8 - x; aggiungiamo + x al primo e al secondo membro dell’equazione, abbiamo 2x + x = 24 - x + x; 3x = 24; x = 24/3; x = 8. Ora facciamo la verifica: 2 per 8, 16, + 2 al cubo, 8, fa 16 + 8 = 24; quindi 2 alla quarta, 16, + 4 al quadrato, 16, fa 32 - 8 = 24; l’equazione è soddisfatta 24 = 24. Archimede aveva indicato la strada per il calcolo degli infinitesimali già 24 secoli fa, e ci voleva tanto a dirlo!
Comunque, Ettorino era contento di avere risolto l’equazione di primo grado, che indicava la distanza in secoli tra Archimede e lo zio Evaristo. Ma la quadratura del circolo, quella no! Non era ancora roba per Ettorino: bisognava cimentarsi prima con la matematica degli insiemi di Cantor, e in maniera un po' meno superficiale.
“In un articolo apparso nel vol. 84 del Journal de Crelle ho dimostrato che tutte le molteplicità, geometriche e aritmetiche, continue e discontinue, di un vastissimo dominio possono essere associate in modo univoco e completo a un segmento di retta o a una sua parte discontinua. Grazie a questo risultato, tali molteplicità (che chiameremo molteplicità lineari di punti o, più concisamente, insiemi lineari di punti), le quali o formano una linea retta continua, finita o infinita, o sono contenute in una simile linea con tutti i loro punti, acquistano un particolare interesse, e vale forse la pena di dedicar loro una serie di considerazioni.” È questo l’incipit di un articolo di Cantor: “Über unendiklen lineare Punktmannigfaltigkeiten”, “Sulle molteplicità lineari infinite di punti”, rintracciabile in Mathematische Annalen (1879).
Noi non sappiamo se lo zio Evaristo ne avesse avuto cognizione diretta, sappiamo soltanto che Ettorino ebbe modo di consultare questo testo, attraverso le traduzioni in italiano di specialisti, pubblicate in volumi, che senz’altro sarebbero appartenuti alle collezioni conservate nella Biblioteca Universal de los Hexágonos di Buenos Aires (veramente, di Borges, sì è vero, ma Buenos Aires fa lo stesso), frequentata dal cugino Fernandez, volevo dire dallo zio Fernandez, insomma il matematico Fernandez che aveva perduto la mente. Ma invece di perdere tempo dietro queste nostre fantasie, concentriamoci su Cantor, e fu quello che fece Ettorino, mente sveglia.
“Sono diversi i punti di vista, con i relativi principi di classificazione, che ci inducono a riunire gli insiemi di punti in determinati gruppi. Per cominciare con uno di questi punti di vista, ricorderò il concetto di derivata di un insieme di punti P dato […] Il concetto di derivata di una molteplicità data non vale solo per le molteplicità lineari, ma anche per quelle piane, spaziali e n-dimensionali, sia continue che discontinue. Più avanti mostreremo che su di esso si basa la definizione (ovvero la determinazione) più semplice, e insieme più completa, del continuo.”
Ecco qui, Cantor è arrivato al punto nodale di tutta la sua costruzione matematica, la formazione della teoria degli insiemi: l’ipotesi del continuo, che il matematico tedesco di San Pietroburgo, non considerava un’ipotesi, ma riteneva una verità da dimostrare. Ettorino fu colto da un dubbio, ricordandosi delle conversazioni avute con Fernandez sull’equazione di Evaristo: 5x^2 + (-) 9x + (-2) = 0. Si trattava dell’equazione di secondo grado, nella sua formula tipo: ax^2 + bx + c = 0, che soddisfaceva l’assioma della continuità di Russell: a>b, a>c, c>b, ritenuto che a = 5; b = -9; c = -2. Consultò diversi manuali, trovando illuminante quanto scritto da uno scienziato italiano, un fisico di fama mondiale (Zichichi), che sulla c.d. “ipotesi del continuo” si esprimeva con la solita chiarezza. Cantor aveva posto il tema: è possibile oppure no separare un livello di infinito dal successivo? Per esempio tra il Numerabile, aleph-0, e il Continuo, aleph-1, esiste un livello intermedio? La risposta è duplice. La prima metà della risposta arriva grazie a Gödel (1940): “Anzitutto precisiamo che gli Insiemi Infiniti debbono essere distinti in due classi: quelli costruibili a partire da regole ben precise, e quelli non costruibili.” Poi dimostrò che per gli insiemi infiniti costruibili era possibile distinguere tra un livello d’infinito e quello successivo, e quindi tra la potenza infinita del Numerabile e quella del Continuo non esiste potenza intermedia. Era la prima metà della risposta, la seconda arriva con il matematico americano Paul Cohen (1963), il quale dimostrò che per gli insiemi infiniti non costruibili, non è possibile accettare l’ipotesi del continuo. Si deve distinguere, dunque, una matematica cantoriana ed una non cantoriana, come in geometria si distingue una geometria euclidea ed un’altra non euclidea. Nessuno si scandalizza, e infatti Ettorino non si scandalizzò, e proseguì nell’approfondimento degli insiemi infiniti di Cantor.
“La derivata P’ di un insieme lineare di punti P è l’insieme di tutti i punti limite di P, dove non interessa se un punto limite sia anche un punto P oppure no. Poiché, di conseguenza, la derivata di un insieme di punti P è a sua volta un insieme di punti determinato P’, possiamo costruire la derivata anche di quest’ultimo, che si chiamerà derivata seconda di P e verrà indicata con P’’; ripetendo questo procedimento otteniamo la derivata v-sima di P che indicheremo con P(v). Ora, può accadere che il susseguirsi delle derivate P’, P’’, … porti fino a un P(n) formato di punti, che in ogni dominio finito sono dati solo in numero finito: dunque P(n) non avrà punti limite, e di conseguenza nemmeno una derivata. In tal caso diremo che l’insieme di punti P è di primo genere e n-esima specie. Se invece la successione P’, P’’, P’’’, …, P(v), … non si interrompe, diremo che l’insieme di punti P è di secondo genere. Si vede facilmente che se P è di primo genere e n-esima specie, P’, P’’, P’’’, … saranno pure di primo genere, e rispettivamente (n-1)a, (n-2)a, (n-3)a, … specie, e che, inoltre, se P è di secondo genere, lo stesso vale per tutte le sue derivate P’, P’’, … . È anche da notare che tutti punti di P’’, P’’’, …sono sempre punti di P’, mentre un punto appartenente a P’ non appartiene necessariamente a P.”
Riflettendo sulla dimensione del “continuo” – pensò “dimensione del continuo” – Ettorino ebbe modo di coglierne la contraddizione interna di separatezza nella continuità, quale quella dei punti su una linea. Se astrattamente “visibile” all’intelletto e materializzato nel minuscolo segno su carta bianca, il punto invece scompare, diventa “invisibile” su linea sia nella visione intellettiva che quella sensibile. Il dubbio riguarda la visione intellettiva, bisogna avere una visione ὀρθότης orthotes (giusta), come quella dello schiavo uscito dalla caverna… Ettorino aveva delle vaghe immagini, reminiscenze che si legavano all’immagine di zio Evaristo. E quindi?
Bisognava mettersi nella prospettiva dello sguardo di Georg Cantor, la sua visione: “Otteniamo altre importanti proprietà di un insieme di punti P, se teniamo presente la sua relazione con un intervallo continuo (α … β) dato (che consideriamo estremi inclusi). Qui le possibilità sono che qualche punto di (α … β), oppure ogni suo punto, oppure nessuno sia anche un punto di P; nell’ultimo caso diremo che P è totalmente esterno a (α … β). Se P giace totalmente o parzialmente nell’intervallo (α … β) è possibile un caso assai notevole, cioè che ogni intervallo (γ … δ) piccolo a piacere contenuto in (α … β) contenga dei punti di P; diremo allora che P è ovunque denso nell’intervallo (α … β). Esempi di simili insiemi di punti ovunque densi nell’intervallo (α … β) sono: 1) ogni insieme di punti al quale appartengano come elementi tutti i punti dell’insieme (α … β), 2) l’insieme formato da tutti quei punti dell’intervallo (α … β), le cui ascisse sono numeri razionali, 3) l’insieme formato da tutti quei punti dell’intervallo (α … β), le cui ascisse sono numeri razionali della forma 2n + 1 (dove n e m sono numeri razionali interi).” 2m
Ettorino cominciò a riflettere sulla densità dei punti su linea in un dato intervallo, e nella sua immaginazione, si rappresentò una linea in un punto in cui si affollavano tanti altri punti provenienti da linee intersecanti più o meno in verticale. Erano i punti dell’ascisse dei numeri razionali (ipotesi-2), oltre a quelli nereggianti (ipotesi-1), in cui si ammassavano le infinite serie configurabili di numeri interi (No), e le serie di numeri razionali con numeratore dispari (2n +1) e denominatore pari (2m) (ipotesi-3). Questi addensamenti che si alternavano con intervalli dell’ordinata, in cui non giacevano altri punti delle ascisse, nereggiando davano l’idea dell’ammassarsi numericamente incontrollato, nel senso di separabile e conteggiabile ad uno ad uno, secondo la serie dei numeri cardinali, e quindi dovevano costituire una continuità, un’ipotesi non solo da immaginare, ma anche da dimostrare logicamente, come pensava di stare facendo intuitivamente Cantor. Era un’ipotesi ingenua, che a volerla dimostrare conduceva alla pazzia, ed Ettorino era a conoscenza che l’autore della matematica degli insiemi infiniti, definita insensata dal collega Leopold Kronecker, era finito in manicomio. Ettorino aveva davanti a sé l’immagine della mente perduta dello zio cugino Fernandez (oh, povero zio!). Ettorino ebbe un dubbio: ma Fernandez era suo cugino o suo zio? O forse, a rigore, non era né suo cugino né suo zio. E come? A rigore, cioè segnando un piano con una riga, e mettendo le due ipotesi, zio e cugino, al di qua della riga, la parentela per vincolo di sangue in linea retta o collaterale, e al di là per vincolo determinato in base alla linea e al grado di parentela con il coniuge dal quale l’affinità deriva. Fernando, detto Fernandez, era cugino di Evaristo, coniuge di sua zia Annamaria, quindi affine di quarto grado con sua mamma Elisea e di quinto grado con lui. Ma che sono tutti questi distinguo in ambito familiare? Zio Fernandez, il povero zio Fernandez… Ettorino non sapeva che il sentimento di compassione per lo zio era anche un presagio per sé, o lo sapeva? E doveva proseguire con Cantor?
E se il “continuo” fosse un’antinomia? L’idea balenò nella mente di Ettorino. Era un’idea che era balenata in mente a tutti prima di lui, certo: eppure Gödel l’aveva risolta. Ma prima di approfondire Gödel, Ettorino ebbe una visione, vide due quadrati accostati che si scostavano e tornavano ad accostarsi per uno dei lati? Che cosa era questa figura geometrica in movimento? Prima di approfondire questa sua visione, Ettorino tornò umilmente a consultare il testo di Cantor.
“Segue da tale interpretazione dell’espressione “ovunque denso in un intervallo dato” che se un insieme di punti non è dovunque denso in un intervallo (α … β) deve necessariamente esistere un intervallo (γ … δ), contenuto nel precedente, nel quale non giacerà alcun punto di P. Inoltre si può dimostrare che se P è ovunque denso nell’intervallo (α … β) non soltanto ciò vale per P’, ma addirittura tutti i punti (α … β) appartengono a P’. Possiamo prendere questa proprietà di P’ come punto di partenza della definizione dell’essere comunque denso in un intervallo e stabilire che un insieme di punti P è detto ovunque denso in un intervallo (α … β), quando la sua derivata P’ contiene come propri elementi tutti i punti di (α … β). Se P è ovunque denso in un intervallo (α … β), lo è pure in ogni altro intervallo (α’ … β’) contenuto nel primo. Un insieme di punti P ovunque denso in un intervallo (α… β) è necessariamente
di secondo genere, perché allora anche P’, e di conseguenza anche P’’, P’’’, …, sono ovunque densi in tale intervallo e il susseguirsi delle derivate è illimitato, cioè P appartiene appunto al secondo genere.”
Il ragionamento di Cantor non faceva una grinza, tutto molto logico e matematico, ecco perché di lui aveva entusiasticamente affermato David Hilbert: “Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi.”
Non so perché, ma Ettorino andò dalla zia Annamaria e chiese una mela; la zia stava parlando con la mamma, si interruppe e andò a prendergli una mela. Mentre usciva dal salotto, per tornare nello studio, Ettorino Martin sentì il commento della zia: “Che carino!” E la madre soggiunse: “Il piccolo Newton.” No, lui non era Newton, e nemmeno Turing, Ettorino sapeva della mela di Newton ovviamente, ma anche della meno conosciuta mela di Alan Turing, la “Apple” appunto. Tornò sul testo di Cantor, “Le molteplicità lineari infinite di punti” e sgranocchiando la mela, continuò la lettura.
“Da ciò si deduce che un insieme di punti P di primo genere sicuramente non è ovunque denso in un qualsiasi intervallo (α … β) preassegnato, e di conseguenza all’interno di (α … β) possiamo sempre trovare un intervallo (γ … δ) che non contiene nemmeno un punto di P.”
Ettorino finì di mangiare la mela, avvolse diligentemente il torsolo in un fazzolettino di carta e lo depose sulla scrivania, un po' lontano dal testo di Cantor, che stava leggendo, e dal quadernetto di zio Evaristo, che teneva a lato. Non era un rituale, ma soltanto una misura di igiene e buona educazione del giovane studioso.
Dopo essersi riservato di esaminare più avanti il problema se per un insieme di punti di secondo genere esista un intervallo (α … β), nel quale esso sia ovunque denso, Cantor passava ad occuparsi della “potenza” delle molteplicità lineari di punti.
“Due molteplicità M e N, geometriche, aritmetiche o appartenenti a qualsiasi altro dominio concettuale rigorosamente costituito, hanno in generale uguale potenza, se è possibile associarle l’una all’altra, secondo una qualsiasi legge definita, in modo tale che a ogni elemento di M corrisponda un elemento di N e viceversa ad ogni elemento di N corrisponda un elemento di M. Ora, due molteplicità possono essere collocate in una stessa classe o in classi diverse a seconda se siano di potenza uguale o diversa. Queste regole generali possono essere applicate in particolare agli insiemi lineari di punti, che perciò si divideranno in classi determinate; gli insiemi di punti di una classe hanno tutti potenza uguale, mentre insiemi collocati in classi diverse hanno potenze diverse. Ogni singolo insieme di punti può essere considerato un rappresentante della classe a cui appartiene.”
Quindi, Cantor cominciava a classificare i vari livelli di potenza degli insiemi infiniti, al primo posto quello dei numeri interi 1, 2, 3, …, n, …, ed anche dei numeri razionali e dei numeri algebrici. Poi passava al livello superiore, classe di insiemi lineari di punti, a cui si applicava il criterio del continuo. Quindi sospendeva l’elencazione, dichiarando di voler provare se le due classi di differenti livelli fossero effettivamente separate. A tale scopo era necessario mostrare che due qualsiasi rappresentanti dell’una e dell’altra classe non sono associabili in modo univoco e completo. Ma subito dopo dichiarava che al momento non era possibile a causa di un teorema da lui stesso enunciato in precedenza che contraddiceva questa sua nuova ipotesi.
Ettorino chiuse il libro di Cantor, sapeva che continuare nel perseguire il continuo era pericoloso e irrazionale, proprio come i numeri irrazionali scoperti e tenuti nascosti da Pitagora, anzi no da Ippaso di Metaponto. Scoprì l’irrazionalità di √2, e una leggenda vuole sia stato condannato a morire annegato da Pitagora, che non poteva accettare l'esistenza dei numeri irrazionali, alogon, cioè inesprimibili, indicibili.
Ettorino raccolse ed aprì il quadernetto di zio Evaristo e riprese in esame il teorema abbozzato del cerchio quadrato, capì confusamente che la linea curva del cerchio, come tutte le linee curve geometriche, non era equi-potente alla linea retta continua, livello aleph-1, ma era di un livello superiore, aleph-2. La forza dinamica appartiene alla fisica non alla matematica, si disse, ma forse era meglio approfondire, allora così concluse tra sé e sé. Cantor aveva stabilito, per quello che ne aveva capito Ettorino, che esisteva l’infinito potenziale, ma anche l’infinito attuale, separabile in livelli infiniti, ma inattingibile l’Infinito assoluto.
IL CERCHIO PERFETTO
Nel canto XXXIII vv.133-145 del “Paradiso”, Dante riflette la convinzione medievale del cielo associato al cerchio e la terra associata al quadrato, per cui è impossibile dalla Terra assurgere al Cielo, se non in forza della superiore potenza divina.
“Qual è ‘l geomètra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l’imago al cerchio e come vi s’indova;
ma non eran da ciò le proprie penne:
se non che la mia mente fu percossa
da un fulgore in che sua voglia venne.
All’alta fantasia qui mancò possa;
ma già volgeva il mio disio e ‘l velle,
sì come rota ch’igualmente è mossa,
l’amor che move il sole e l’altre stelle.”
“Come il matematico si applica tutto
per misurare il cerchio e non lo trova,
pensando a quel principio che gli manca
tale ero io a quella nuova visione:
volevo vedere come accadde
che l’immagine terrena s’inscrivesse nel cerchio
[il quadrato della terra nel cerchio del cielo];
ma mi mancavano le ali [adatte]
allorché la mia mente fu colpita
da folgore, che raggiunse la mia brama.
Alla mia immaginazione mancò la forza,
ma già volgeva il mio desiderio e volere,
come una ruota all’unisono mossa,
l’amor che muove il cielo e le altre stelle.”
Ettorino capì che non poteva intraprendere questo viaggio divino, chiuse libri e quaderni, prese l’avanzo di mela incartato, andò in cucina e lo gettò nella spazzatura, nel sacchetto degli organici. Aveva deciso, e fu in cucina che comunicò alle due donne, la mamma e la zia, che lo avevano lì seguito osservandone i gesti, il suo proposito di partire. Per dove? Ettorino espose il suo progetto: prendere il treno per Milano e di lì proseguire per la Germania e ancora in direzione nord-est per San Pietroburgo, patria di Georg Cantor, oppure prendere il treno che va in Puglia, imbarcarsi a Brindisi per la Grecia e raggiungere via mare nell’Egeo l’isola di Samo, patria di Pitagora.
“Ettorino!” esclamò a gran voce la madre, per reclamare la sua attenzione, il suo dire inespresso: “Ma come? Te ne vai così di colpo e mi lasci sola? Ettorino!” Il giovane non si scompose, guardò la mamma e la zia e poi espose il suo dilemma: “Se vado a nord-est per raggiungere San Pietroburgo, non posso tornare indietro, per andare a Samo, vicino alle coste della Turchia; se invece vado a est nel mar Egeo, fino a Samo, non posso tornare indietro per andare a nord e raggiungere San Pietroburgo.”
Le due donne guardavano silenziose e inquiete quel loro adolescente, che diceva di voler lasciare casa, per andare, non si capiva bene, se in Grecia o in Russia. Alle due donne non importava quale direzione doveva prendere Ettorino, ma per Ettorino era fondamentale risolvere il dilemma, infine decise. E infatti, se non avesse deciso, non sarebbe venuto fuori dal dilemma, e sarebbe rimasto lì senza partire, o forse, realizzando il paradosso di Zenone, sarebbe partito senza muoversi. E quindi?
L’altro giorno ho ricevuto una cartolina da Istanbul, si vedeva la moschea di Solimano, c’era scritto: “Saluti da Ettorino Martin”. Che strano! Ma poi vi racconto.
Posta un commento