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‘Kde domov muj’? ‘Dov’è la mia patria?’ Non è un inno di guerra, non auspica la rovina di nessuno, canta senza retorica il paesaggio della Boemia con i suoi colli e pendii, le pianure e le betulle, i pascoli e i tigli ombrosi, i piccoli ruscelli. Canta il paese dove siamo a casa nostra, è stato bello difendere questa terra, bello amare la nostra patria (Milena Jesenskà)
Copenaghen
Bruxelles Louiza
“Dobbiamo pensare che ciascuno di noi, esseri viventi, è come una prodigiosa marionetta realizzata dalla divinità, per gioco o per uno scopo serio, questo non lo sappiamo." (Platone, Leggi, 1, 644e)
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LA DISGIUNZIONE
Quando Russell enuncia il paradosso della freccia, lo stesso testo aristotelico della “Fisica”, ammette la giustezza dell’osservazione di Zenone, e rinvia alla teoria del mutamento statico, che tratta nell’apposita sezione dedicata al moto. Quindi, si appresta a risolvere il problema dal punto di vista logico matematico e osserva: “Si tratta di un luogo comune molto importante: “Ogni possibile valore di una variante è una costante”. Se x è una variabile che può assumere tutti i valori da 0 a 1, tutti i valori che essa può assumere sono numeri definiti, per es. 1/2 oppure 1/3 che sono tutte costanti assolute.” Ancora una volta egli fa riferimento al concetto di classe, che è uno dei concetti alla base di tutto l’impianto dei “Principia Mathematica”, dove pochi assiomi e regole di inferenza, come osserva Gödel, sono sufficienti a decidere tutte le questioni matematiche suscettibili di essere formalizzate nel relativo sistema. In particolare, deve essere preso in considerazione l’assioma dell’infinito, nella forma che esistono molti insiemi confrontabili in maniera biunivoca con l’insieme dei numeri interi: si tratta degli insiemi infiniti di Cantor, che Russell definisce classi.
Anche in questo caso, il riferimento è alla classe: “Una variabile è un concetto fondamentale della logica, come pure della vita quotidiana. Anche se è sempre in rapporto con qualche classe, essa non è una classe, e neppure un elemento della classe, e neppure l’intera classe, ma “qualunque” elemento della classe. […] Per es., il solito x dell’algebra non sta al posto di un numero particolare, e neppure di tutti i numeri, e nemmeno della classe numero.” (“Principia”, 332)
Russell fa l’esempio della formula: (x + 1)2 = x2 + 2x + 1. Il significato di una tale formula non dipende dalla sostituzione di un numero al posto di x, ad es. 391, [noi l’avremmo fatta con un altro numero, N. d. E.], anche se implica che il risultato di una tale sostituzione è una proposizione vera. E neppure potrebbe avere significato, se la sostituzione avvenisse con una classe-numero, o il concetto di numero qualunque, entrambi non suscettibili di essere sommati a +1. “L’identità in esame denota la disgiunzione formata dai vari numeri, o almeno si può assumere tale interpretazione come quasi corretta. I valori di x sono allora i termini della disgiunzione; e ognuno di questi è una costante. Questo semplice fatto logico sembra costituire l’essenza dell’affermazione di Zenone che la freccia è sempre ferma.”
Eudoxian chiuse il libro e guardò fuori dal finestrino, imbruniva. Mentalmente calcolò il valore dell’equazione portata a esempio da Russell, con i valori 1 e 2 e 3 al posto di x. Il risultato: 4 = 4; 9 = 9 ; 16 = 16. La disgiuntiva, proposizione logica con termini che si escludono a vicenda, o 1 o 2 o 3 e così via, ognuno una costante, “una costante è qualcosa di definito in modo assoluto, nei cui riguardi non esiste ambiguità alcuna. Quindi 1, 2, 3… sono costanti.” (“Principia Mathematica”, 6).
Un segnale sul tablet l’avvertì dell’arrivo di un messaggio, era un video: apparve il dottor Orunga con il camice verde e la mascherina chirurgica, che stava curando dei bambini in un ospedale africano, poi apparve Silvia Napolitano, con la mascherina, quindi cominciò a scorrere la dicitura nel margine inferiore, con il numero di conto corrente, dove fare le donazioni. Eudoxian richiuse il tablet. Come donazioni aveva già versato x + 99 = 100; x = 100 – 99 = 1. Un euro, che vergogna! Ma quando mai! 1 sta per “una donazione”. Ah! E l’ammontare? Cento euro. Come dire, 1 = 100? Esatto! Sì, ma a me non sembra tanto esatto, e ti dirò nemmeno tanto vero. Tu non capisci niente, devi studiare il teorema di incompletezza di Gödel. E tu l’analisi matematica.
Adottando il calcolo infinitesimale, secondo cui i singoli istanti di tempo non sono nulli, ma infinitamente piccoli, si risolve il terzo paradosso di Zenone. In istanti infinitamente piccoli, infinitesimi di tempo, la freccia percorre tratti infinitamente piccoli, spazi infinitesimi, compiendo il suo moto di traslazione. Elementare, no? Ma chi si è inventato questo calcolo infinitesimale? Eudosso di Cnido (IV sec. a. C.). Chi? Eudoxian rimase non solo colpito, (immobilità), ma inquieto (movimento). Possiamo dire che era stato trafitto dalla freccia. Si sentì esausto, come esaurito in un processo di esaustione, quello teso ad ottenere la quadratura del circolo. Chiuse gli occhi.
UN LUOGO TRA LE OMBRE
Eudoxian continuava a combattere contro il terzo paradosso di Zenone, un mulino a vento? Non proprio. Un’equazione? La matematica di Russell: (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1. Che c’entrava quella formula algebrica? Bisognava accordare un valore alla x.
“Ma l’argomento di Zenone contiene un elemento che risulta in modo particolare applicabile ai continui. Nel caso del moto, esso nega che esista lo stato di moto. Nel caso generale di un continuo variabile, è possibile interpretarlo come la negazione degli infinitesimi attuali. Infatti gli infinitesimi rappresentano un tentativo di estendere ai valori di una variabile la variabilità che appartiene soltanto ad essi. Una volta compreso bene questo, che tutti i valori di una variabile sono costanti, diventa facile vedere, prendendo due qualunque di tali valori, che la loro differenza è sempre finita e che perciò non esistono differenze infinitesimali. Se x è una variabile che può assumere tutti i valori reali da 0 a 1, prendendo due di tali valori, vediamo che la loro differenza è finita, benché x sia una variabile continua. È vero che la differenza avrebbe potuto risultare minore di quella che abbiamo scelto; ma se lo fosse stata, sarebbe stata ugualmente finita. Il limite inferiore delle possibili differenze è zero, ma tutte le differenze possibili sono finite, e in questo non vi è ombra di contraddizione. Questa teoria statica della variabile è dovuta ai matematici, e il fatto che essa non fosse ancora nota al tempo di Zenone, gli fece supporre che fosse impossibile il mutamento continuo, senza uno stato di mutamento, che implica gli infinitesimali e la contraddizione di un corpo che si trova dove non è.” (Principia Mathematica, 333)
In definitiva, il modello matematico degli infinitesimali, sconosciuto a Zenone, non gli faceva vedere la freccia dove la freccia non si trovava, o faceva finta di non vedere, pensò Eudoxian, visto che l’allievo di Parmenide poteva essere a conoscenza della dottrina di Eudosso di Cnido. E come? Il matematico era posteriore al dialettico? Allungando lo sguardo sul futuro, ed a pensarla così non è E, ma B, per chi ha imparato a conoscere la simbolica di questo Blog. Sì, ma E = B. Eh, no! Bisogna dimostrarlo. Subito: E= C, B = C, quindi E = B. Che cosa significa C ? C sta per clown. C = E = B non è però una proposizione, non si può dire né vera né falsa, non significa niente. Come? “Con la parola “proposizione” vogliamo innanzitutto significare una forma di parole che esprime ciò che è vero o falso.” Così Russell, in “Introduzione alla filosofia matematica”, quando espone il suo pensiero sulle “funzioni proposizionali”. Quindi non esclude simboli differenti da quelli verbali o pensieri che abbiano carattere simbolico. La formula [C = E = B] non è una proposizione, se non vengono attribuiti dei valori ai simboli E, B, C, come, e facciamo l’esempio di Russell, l’equazione (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 non è una proposizione, se non si attribuiscono tutti i valori possibili o almeno determinati ad a e b. Altrimenti, si tratta di una “funzione proposizionale”, i.e. un’espressione che contiene uno o più costituenti indeterminati, tali che se si assegnano dei valori a questi costituenti, l’espressione diventa una proposizione.
Tu dici che è così? Non io, Russell. Allora E sono io, Eudoxian, B è il Blogger, C è il clown, la maschera tipica del clown. Qui, a quanto pare, Eudoxian veste i panni del narratore. E certo! Altrimenti come fa a identificarsi con il Blogger? Non si identifica e riprende i suoi panni di personaggio, tra un po' vedremo come Russell risolve il problema tra autore e fantasma letterario sua creatura. Ah! staremo a vedere.
Ad ogni buon conto, stabiliti i valori di E, C, B, la formula [C = E = B] è una proposizione. L’avevo detto io! Stai zitto. La proposizione può essere vera o falsa, [C = E = B] è falsa. E questo chi lo dice? Stai zitto! Io protesto. È un tuo diritto. E allora come la mettiamo? La mettiamo in questo modo: “È soltanto ciò che chiamiamo il “concetto” che entra effettivamente nelle proposizioni.” E quindi? “Nel caso dell’unicorno, ad esempio, c’è solo il concetto; non c’è, anche in qualche luogo tra le ombre, un oggetto irreale che possa essere chiamato unicorno.” Tu hai mai incontrato un unicorno? No, ma posso dire di averlo incontrato, e questa mia affermazione “Ho incontrato un unicorno” è una proposizione. Sì, falsa. E perché? Adesso stai a sentire e non m’interrompere, fino a quando non ho finito. D’altronde è Russell (non in persona), ma attraverso me, che parla. “Dato che ha un significato, anche se falso, dire “ho incontrato un unicorno”, è chiaro che questa proposizione, correttamente analizzata, non contiene un “unicorno” come componente, pur contenendo il concetto di unicorno. Il problema dell’irrealtà, che affrontiamo a questo punto, è molto importante. Ingannati dalla grammatica, la grande maggioranza dei logici che si sono occupati di questo problema ne hanno discusso su un piano sbagliato. Hanno guardato alla forma grammaticale come a una guida più sicura di quello che è in realtà. E non hanno notato le differenze che nelle forme grammaticali sono veramente importanti. […] Non possedendo l’apparato delle funzioni proposizionali, molti logici sono giunti alla conclusione che esistono oggetti irreali. Ad es. Meinong [“Untersuchungen zur Gegenstandstheorie und Psychologie”, 1904. “Studi sulla teoria degli oggetti e sulla psicologia”] ha arguito che possiamo parlare della “montagna d’oro” e del “quadrato rotondo” e così via; noi possiamo costruire proposizioni vere, di cui queste cose sono i soggetti; ciò comporta che esse abbiano un tipo di esistenza logica, perché altrimenti le proposizioni, in cui sono contenute, non avrebbero significato alcuno. Ma in queste teorie, mi sembra, manca quel senso della realtà che bisognerebbe mantenere anche negli studi più astratti. La logica, io sostengo, non deve ammettere gli unicorni più della zoologia; infatti, la logica tratta del mondo reale, come la zoologia, anche se in termini più astratti e generali. Dire che gli unicorni hanno una loro esistenza in araldica, o in letteratura, o nell’immaginazione, è una scappatoia pietosa. Quello che esiste nell’araldica non è un animale fatto di carne e sangue, che si muove e respira di sua iniziativa. Quello che esiste è una figura o rappresentazione a parole.”
E quindi io sarei una rappresentazione di parole? Tu chi? Eudoxian, ho anche un nome come vedi, e una mia vita, un mio dramma, come fai a dire che sono una “figura o rappresentazione di parole?” Non lo dico io, ma lo dice Russell. Quello! Te lo raccomando. Ma stai zitto, imbelle. Ehi! Non cominciamo a offendere.
“Analogamente dire che Amleto esiste nel suo mondo, cioè nel mondo della immaginazione di Shakespeare, proprio come Napoleone esisteva nel mondo reale, è dire qualcosa che deliberatamente confonde, o che è tanto confuso da essere incredibile. Esiste un solo mondo, il mondo “reale”: l’immaginazione di Shakespeare è parte di esso e i pensieri che aveva scrivendo l’Amleto sono reali. Come sono reali i pensieri nostri, quando ne leggiamo la tragedia. Ma fa parte dell’essenza vera della tragedia che solo i pensieri, i sentimenti, in Shakespeare e nei suoi lettori siano reali, e che non esista oltre a questi, un Amleto oggettivamente reale. Anche tenendo conto di tutti i sentimenti suscitati da Napoleone negli scrittori e al lettore di storia, non si sarà raggiunto Napoleone come uomo reale; nel caso di Amleto invece sì. Se nessuno avesse pensato ad Amleto, non sarebbe rimasto al mondo niente di lui; ma se nessuno avesse pensato a Napoleone, presto o tardi qualcuno si sarebbe comunque occupato di ciò che una certa persona aveva fatto.”
Sostanzialmente, Russell ci sta dicendo che la verità storica prevale su quella artistica, inseguendo Hegel, la logica di Hegel, e la sua svalutazione dei fantasmi letterari, ad eccezione di quelli che raffigura nel suo romanzo, la “Fenomenologia dello Spirito”. Caro Blogger, il tuo Russell non fa altro che scoprire l’acqua calda, e la sua logica analitica non è altro che una brutta copia di quella di Aristotele.
Ascolta la replica, Eudoxian: Russell ricalca la logica aristotelica con la sua filosofia analitica, ma il suo tentativo, azzoppato da Gödel e scoperto da lui stesso, di applicare gli assiomi della sua logica alla matematica, resta pur sempre un’impresa del pensiero. Russell è un matematico, ma anche un filosofo, che scriveva libri, per mantenere le sue quattro mogli e i relativi figli. Ed è pur vero che gli sia stato riconosciuto il premio Nobel per la letteratura, grazie alla sua “Storia della filosofia occidentale”, ma sopra ogni altro merito intellettuale, vale il suo impegno politico, per il quale dopo tutto viene ricordato. Che hai detto? Ho detto: “Ecco perché parlava di Napoleone.”
Non commento l’ultima battuta e concludo: “Il senso della realtà è vitale nella logica, e chiunque non prenda sul serio questo fatto, pretendendo di attribuire ad Amleto un tipo di realtà diversa da quella effettiva, fa un pessimo servizio al pensiero. Un senso robusto della realtà è veramente necessario nel costruire una analisi corretta delle proposizioni sugli unicorno, montagne d’oro, quadrati rotondi ed altri oggetti del genere. Obbedendo al senso della realtà, insistiamo nel dire che, nelle analisi delle proposizioni, non deve essere ammesso niente di irreale.”
E se non deve essere ammesso niente di irreale, come mai ne parliamo? È quello che si domanda anche Russell, imbattendosi in quella che conosciamo come l’aporia del niente, su cui tanti filosofi hanno creato sin dall’antichità i loro sistemi speculativi.
“Ma, dopo tutto, se non vi “è” niente di irreale, ci si può domandare, come si può ammettere qualcosa di irreale? La risposta è che nel trattare delle proposizioni, noi trattiamo in primo luogo con simboli, e se diamo significato a simboli che non significano nulla, cadremo nell’errore di ammettere delle irrealtà, nel senso solo possibile, cioè come oggetti descritti.”
Punto, ho capito, Blogger, adesso tira fuori la sua teoria delle “descrizioni”, il capitolo della “Introduzione alla filosofia matematica”, dove ne discute, e da cui hai tratto tutta la sua “estetica”, così la definirei, una sorta di logica dell’estetica. Comunque, risparmiati di leggere il seguito e di commentarlo in sintesi, lo dico io, in breve. Il soggetto grammaticale di una frase è la “descrizione”, prima fra tutte il nome proprio. È stato Aristotele, il primo a parlare di “Socrate” come costante logica, diciamo; da allora tutti i logici hanno usato e usano ancora questo nome, e fanno anche bene a ricordarlo. Ometto di dire “detto questo”, e quindi omissis, ti saluto, my dear blogger, e ridiscendo nel mio luogo tra le ombre. God be with you! Till we meet again!
POSTILLA
Riproduco la risposta esatta della IA al mio quesito di matematica. Nel linguaggio del testo, quindi uso l’espressione “equazione” in senso generico e non in linguaggio matematico. Questa precisazione tende anche a chiarire l’errata trascrizione della identità, ovvero l’equazione, (x + 1)2 = x2 + 2x + 1, invece di (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1.
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 equazione di primo grado esatto?
No, questa non è un'equazione di primo grado, ma si tratta di un'identità.
Sviluppo del quadrato: Se sviluppi il quadrato di binomio a sinistra (x + 1)^2, ottieni esattamente x^2 + 2x + 1.
Semplificazione: L'uguaglianza diventa x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x + 1.
Risultato finale: Sottraendo gli stessi termini da entrambi i lati, arrivi a 0= 0.Un'identità è un'uguaglianza sempre vera per qualsiasi valore di x. Nelle equazioni di primo grado, invece, la x non si annulla e trovi un solo valore come soluzione.
La precisazione della IA sull’inesattezza dell’uso del termine “equazione”, invece di “identità”, mi ha indotto ad approfondire l’argomento. E che cosa ho scoperto? L’acqua calda. No, l’acqua fredda, demone, in cui devi rinfrescarti la testa ogni volta che intervieni a turbare la linearità del mio discorso. Il mio demone, sappiamo che è lo spostamento del mio io al di fuori del mio io, un’oggettivazione dell’io soggettivo nel sé. Bon! Quindi che cosa ho scoperto consultando il sito web di seguito indicato?
https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/equazioni/3732-identita.html
Una identità, in matematica, è un’eguaglianza tra due espressioni algebriche uguali, dunque è verificata per qualunque valore dell’incognita, nell’insieme dell’esistenza delle soluzioni. Pertanto, nulla vieta di considerare l’identità come un’equazione.
In questo senso si può dire: 1) Le identità sono equazioni risolte per ogni x nell’insieme dell’esistenza delle soluzioni: 2) le identità sono equazioni indeterminate; 3) L’insieme soluzione di un’identità coincide con l’insieme esistenza delle soluzioni dell’identità.
Il testo del sito web, citato in sintesi, così prosegue: “Ovvio, no?” E inizia a fare degli esempi. A questo punto il mio demone non può perdere l’occasione d’intervenire sull’ovvio, irridendo che per lui l’ovvio non è ovvio, sottintendendo l’ignoranza dell’io, che egli come demone supporta – l’io invece non supporta il demone, al contrario lo sopporta, e in un certo senso è la stessa cosa: portare un peso.
Nell’occasione, il contrasto è a favore dell’io, che nel testo aveva già proposto il suo esempio, nella soluzione dell’eguaglianza che può essere definita, l’ abbiamo già visto, come un’equazione. L’io in questione è Eudoxian, che nella N. d. E., dimostra di aver capito il ragionamento matematico di Russell.
“Russell fa l’esempio della formula: (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1. Il significato di una tale formula non dipende dalla sostituzione di un numero al posto di x, ad es. 391, [noi l’avremmo fatta con un altro numero, N. d. E.], anche se implica che il risultato di una tale sostituzione è una proposizione vera.[…] Eudoxian chiuse il libro e guardò fuori dal finestrino, imbruniva. Mentalmente calcolò il valore dell’equazione portata a esempio da Russell, con i valori 1 e 2 e 3 al posto di x. Il risultato: 4 =4; 9 = 9 ; 16 = 16.”
Russell aveva indicato un numero che in quel momento, forse a caso, gli passava per la testa, Eudoxian i primi numeri naturali, i più semplici per un calcolo immediato.
Sul perché metto a confronto Russell con Eudoxian, e non me, in questa “Postilla”, e sul perché della scelta del numero 391 da parte del matematico inglese, cercheremo di indagare in un prossimo testo, una nuova stesura di “L’inconscio della scrittura.”
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