Aritmetica dello zero
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ARITMETICA E ALGEBRA INDIANA
Nel 1817, Henry Thomas Colebrooke (1765–1837) ha pubblicato le traduzioni in lingua inglese di diversi testi di matematica scritti in sanscrito, che includeva una traduzione del dodicesimo capitolo del Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628) di Brahmagupta.
“Algebra, with Arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara.” Translated by Henry Thomas Colebrooke, 1817.
BHASCARA – ARITHMETIC (LÌLÀVATÌ) – CHAPTER II – SECTION IV – CIPHER [1]
44 — 45. Rule for arithmetical process relative to cipher : two couplets.
In addition, cipher makes the sum equal to the additive. [2] In involution and [evolution] [3] the result is cipher. A definite quantity [4] divided by cipher, is the submultiple of nought. [5] The product of cipher is nought : but it must be retained as a multiple of cipher, [6] if any further operation impend. Cipher having become a multiplier, should nought afterwards become a divisor, the definite quantity must be understood to be unchanged. So likewise any quantity, to which cipher is added, or from which it is subtracted, [is unaltered.]
[1] Sunya, cha, and other synonyma of vacuum or etherial space : nought or cipher; a blank or the privation of specific quantity. — Crishn. on V'tja-gaiiita.
The arithmetic of cipher is briefly treated by Brahmegupta in his chapter on Algebra, § 19 — 24. See CII. on Arithmetic of Brahmegupta. § 13, note.
[2] Cshépa: that which is cast or thrown in (cshipyaté): additive.
[3] Involution, &c. That is, square and square-root ; cube and cube-root.
[4] Ràsi . See § 36.
[5] Cha-hara, a fraction with cipher for its denominator. According to the remark of Gan'e's'a, an indefinite, unlimited, or infinite quantity : since it cannot be determined how great it is. Unaltered by addition or subtraction of finite quantities: since, in the preliminary operation of reducing both fractional expressions to a common denominator, preparatory to taking their sum or difference, both numerator and denominator of the finite quantity vanish. Ranganatha affirms, that it is infinite, because the smaller the divisor is, the greater is the quotient : now cipher, being in the utmost degree small, gives a quotient infinitely great. See Viya-ganita, § 14.
[6] Chaguna, a quantity which has cipher for its multiplier. Cipher is set down by the side of the multiplicand, to denote.
BHASCARA – ARITMETICA (LÌLÀVATÌ) – CAPITOLO II – SEZIONE IV – ZERO [1]
44 — 45. Regole per le operazioni aritmetiche relative allo zero: due sezioni.
Nell’addizione, zero rende la somma uguale alla quantità addizionata [2] [0 + n = n]
Nel quadrato e [radice quadrata] [3] il risultato è zero [0^2 = 0 ; √0 = 0]
Una quantità definita [4] divisa per zero è il sottomultiplo di zero [5] [n ÷ 0 = n/0]
Il prodotto di [una quantità moltiplicata per] zero è zero [n x 0 = 0], ma deve essere mantenuto come un multiplo di zero [6] [n x 0 = n ], se impiegato come termine per una successiva operazione [es. 14 x 0 = 0 ; 14 x 0 + 7 = 21]
Essendo zero divenuto un moltiplicatore, se zero diventasse un divisore, la quantità intera deve intendersi immutata [n x 0 = n ≅ n ÷ 0 = n]
Allo stesso modo, qualsiasi quantità, a cui lo zero è aggiunto o viene sottratto, [resta inalterata] [n + 0 = n; n – 0 = n]
[1] Sunya, cha e altri sinonimi di vuoto o spazio etereo: niente o zero; un blank (spazio bianco) o la privazione di una specifica quantità. Crishn. in V'tja-ganita (Matematica)
L’aritmetica di zero è trattata brevemente da Brahmagupta nel capitolo sull’Algebra, § 19 — 24. Vedi CII in Aritmetica di Brahmagupta § 13, Nota.
[2] Cshépa: quello che è messo o aggiunto nella (addizione): addendo.
[3] Involution, &c. Sono quadrato e radice quadrata; cubo e radice cubica.
[4] Ràsi. Vedi § 36 (Frazioni)
[5] Cha-hara, una frazione con zero a denominatore. Concordante con il commento di Gan'e's'a, una quantità indefinita, illimitata o infinita: dal momento che non può essere determinata quanto sia grande. Immutata [frazione con zero] per addizione o sottrazione di quantità finite: dal momento che nelle operazioni preliminari di riduzione di entrambe le frazioni al comune denominatore, al fine di eseguire la loro somma o sottrazione, entrambi numeratore e denominatore di quantità finite si annullano [n/0 ± n/m = 0 ÷ 0 x n ± 0 ÷ m x n = 0 ± 0 = 0], Ranganatha afferma che essa (frazione con zero) è infinita, perché più piccolo è il divisore, più grande è il quoziente: perché l’estremo limite minimo dà un quoziente infinitamente grande. Vedi Viya-ganita (Matematica), § 14.
[6] Chaguna, una quantità che ha zero per moltiplicatore. Zero è messo accanto al moltiplicando, per designarne [la funzione].
46. Example. Tell me how much is cipher added to five ? and the square of cipher? and its square root ? its cube? and cube-root? and five multiplied by cipher? and how much is ten, subtracting cipher? and what number is it, which multiplied by cipher, and added to half itself, and multiplied by three, and divided by cipher, amounts to the given number sixtythree?
Statement : 0. Cipher added to five makes 5. Square of cipher, 0. Square-root, 0. Cube of cipher, 0. Cube-root, 0.
Statement : 5. This, multiplied by cipher makes 0.
Statement: 10. This, divided by cipher, gives 10/0
Statement: An unknown quantity; its multiplier, 0; additive, 1/2; multiplicator, 3; divisor, 0; given number, 63; assumption, 1. Then, either by inversion or position, as subsequently explained (§ 47 and 50), the number is found, 14. This mode of computation is of frequent use in astronomical calculation.
46. Esempio. Dimmi quanto fa zero sommato a cinque? E il quadrato di zero? E la sua radice quadrata? E il suo cubo? E la radice cubica? E cinque moltiplicato zero? E quanto fa dieci, sottraendo * zero? E quale numero è quello, che moltiplicato per zero e sommato a un mezzo di sé stesso, e moltiplicato per tre, e diviso per zero, dà come risultato il numero sessantatré?
Soluzione: 0. Zero sommato a cinque fa 5. Il quadrato di zero,0. La radice quadrata, 0. Il cubo di zero, 0. La radice cubica, 0.
Soluzione: 5. Questo, moltiplicato per zero fa 0.
Soluzione: 10. Questo, diviso per zero, dà 10/0.
Soluzione: Una quantità sconosciuta; il suo moltiplicatore, 0; l’addendo, 1/2; il moltiplicatore, 3; divisore, 0; numero dato, 63; postulato, 1. Allora, o per inversione o per posizione, come spiegato in seguito (§ 47 e 50), il numero viene trovato, 14. Questo modo di calcolare è di uso frequente nel calcolo astronomico.
[postulato 1, inversione; postulato 2, supposizione]
* Ho tradotto fedelmente “subtracting”, quello che appare un errore della traduzione inglese, anche in riferimento alla soluzione del quesito, 10/0
OSSERVAZIONI
44 — 45. Regole per le operazioni aritmetiche relative allo zero: due sezioni.
Le operazioni in sequenza sono:
- somma di n (numero) + 0
- quadrato 0^2
- radice quadrata √0
- divisione n/0, n sottomultiplo di 0
La nota [5] illustrativa della divisione con lo 0 chiarisce l’oscurità del testo inglese: “A definite quantity divided by cipher, is the submultiple of nought” [5], di cui si deve considerare corretta la traduzione in lingua italiana: “Una quantità definita divisa per zero è il sottomultiplo di zero.” C’ha-hara, il termine sanscrito traslitterato, indica una frazione con zero a denominatore. Questa traduzione concorda con il commento di Gan'e's'a, che nel denominatore indica una quantità indefinita, illimitata o infinita, dato che non può essere determinata quanto sia grande. In tal senso, la frase deve intendersi: “Una quantità definita divisa per zero ha zero come sottomultiplo.” Infatti, in simboli numerici, la rappresentazione avviene attraverso la frazione con zero come denominatore: n/0. In tal senso il denominatore è il “sottomultiplo”, che corrisponde al moltiplicatore come “multiplo” nella moltiplicazione correlata. [n/0 = n ≅ n x 0 = n]
La nota [6] chiarisce il senso del termine sanscrito “Chaguna”: una quantità che ha zero per moltiplicatore, messo accanto al moltiplicando.
Oltre al chiarimento sulle espressioni in inglese, che traducevano il sanscrito del testo originale, restano da chiarire due punti: 1] la differenziazione per la moltiplicazione con lo zero, se semplice o seguita da altra operazione; 2] l’addizione e la sottrazione con altre frazioni di un numero fratto zero, operazioni che comportano la riduzione di entrambe le frazioni ad un comune denominatore.
Per quanto riguarda il punto 1], bisogna tenere presente che lo 0 veniva assunto come numero e impiegato in operazioni già nel ‘600 da Brahmagupta. Questo non toglie che sul problema vi sia stata un ulteriore riflessione, che con Bhaskara nel XII secolo ha indicato il modo per considerare inalterato il numero moltiplicato o diviso per zero. Infatti nelle operazioni con più termini, messe in fila orizzontale, la moltiplicazione di un numero per zero non produce “niente”, come dire ha un prodotto zero, che non impedisce di procedere oltre, così come andando a rovescio, dividendo con zero, il dividendo rimane inalterato. Infatti, l’autore conclude con la similitudine: “ Allo stesso modo, qualsiasi quantità, a cui lo zero è aggiunto o viene sottratto, [resta inalterata]” Per quanto riguarda il punto 2], la scelta dello zero come comune denominatore, implica che 0 : 0 = 0, come peraltro già ammesso da Brahmagupta sei secoli prima, e quindi riduzione allo zero di ogni successiva operazione.
Es. 1/0 ± 2; 0 : 0 x 1 = 0; 0 : 1 x 2 = 0; quindi (0 ± 0) / 0 = 0/0 = 0
- moltiplicazione n x 0, come regola n x 0 = 0; ma come termine contenuto in una serie di operazioni aritmetiche, non viene moltiplicato, e rimane inalterato. Negli esercizi del paragrafo 46, nella serie di operazioni aritmetiche, si trovano la moltiplicazione e divisione con zero, che lasciano inalterato l’operando.
- Se quindi zero è un moltiplicatore (che lascia inalterato il moltiplicando), allora è anche un divisore, che lascia inalterato il dividendo (numeratore). Si tratta della relazione tra multipli e sottomultipli: nella divisione, il prodotto tra il quoto (quoziente senza resto) e il divisore (sottomultiplo) è uguale al dividendo.
Se, infatti n ÷ 0 = n, allora n x 0 = n.
La regola, quindi, è che nelle operazioni aritmetiche in sequenza, la moltiplicazione e la divisione con lo zero, lasciano immutati gli operandi.
Allo stesso modo rimangono inalterate le quantità definite, a cui lo zero è aggiunto o viene sottratto. [n + 0 = n; n – 0 = n]
Il lato oscuro che le regole della matematica moderna non chiariscono è perché il prodotto di un moltiplicando n per un moltiplicatore 0 è uguale a 0.
Se, infatti, n x 0 = 0, allora 0 ÷ 0 = n. L’incongruenza è visibile nella regola che ammette 0 x 0 = 0, ma dichiara errore 0 : 0 = 0, sulla base del principio che è impossibile dividere un numero per zero.
[N. d. B.]
Ripropongo il post sull’aritmetica dello zero, relativa alla matematica indiana, con alcune modifiche nel paragrafo delle “Osservazioni”. L’incongruenza rilevata alla fine verrà discussa in un prossimo commento: “Le regole oscure”.
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