Aritmetica dello zero
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“Dobbiamo pensare che ciascuno di noi, esseri viventi, è come una prodigiosa marionetta realizzata dalla divinità, per gioco o per uno scopo serio, questo non lo sappiamo." (Platone, Leggi, 1, 644e)
7 commenti:
ARITMETICA E ALGEBRA INDIANA
Nel 1817, Henry Thomas Colebrooke (1765–1837) ha pubblicato le traduzioni in lingua inglese di diversi testi di matematica scritti in sanscrito, che includeva una traduzione del dodicesimo capitolo del Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628) di Brahmagupta.
“Algebra, with Arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara.” Translated by Henry Thomas Colebrooke, 1817.
BHASCARA – ARITHMETIC (LÌLÀVATÌ) – CHAPTER II – SECTION IV – CIPHER [1]
44 — 45. Rule for arithmetical process relative to cipher : two couplets.
In addition, cipher makes the sum equal to the additive. [2] In involution and [evolution] [3] the result is cipher. A definite quantity [4] divided by cipher, is the submultiple of nought. [5] The product of cipher is nought : but it must be retained as a multiple of cipher, [6] if any further operation impend. Cipher having become a multiplier, should nought afterwards become a divisor, the definite quantity must be understood to be unchanged. So likewise any quantity, to which cipher is added, or from which it is subtracted, [is unaltered.]
[1] Sunya, cha, and other synonyma of vacuum or etherial space : nought or cipher; a blank or the privation of specific quantity. — Crishn. on V'tja-gaiiita.
The arithmetic of cipher is briefly treated by Brahmegupta in his chapter on Algebra, § 19 — 24. See CII. on Arithmetic of Brahmegupta. § 13, note.
[2] Cshépa: that which is cast or thrown in (cshipyaté): additive.
[3] Involution, &c. That is, square and square-root ; cube and cube-root.
[4] Ràsi . See § 36.
[5] Cha-hara, a fraction with cipher for its denominator. According to the remark of Gan'e's'a, an indefinite, unlimited, or infinite quantity : since it cannot be determined how great it is. Unaltered by addition or subtraction of finite quantities: since, in the preliminary operation of reducing both fractional expressions to a common denominator, preparatory to taking their sum or difference, both numerator and denominator of the finite quantity vanish. Ranganatha affirms, that it is infinite, because the smaller the divisor is, the greater is the quotient : now cipher, being in the utmost degree small, gives a quotient infinitely great. See Viya-ganita, § 14.
[6] Chaguna, a quantity which has cipher for its multiplier. Cipher is set down by the side of the multiplicand, to denote.
BHASCARA – ARITMETICA (LÌLÀVATÌ) – CAPITOLO II – SEZIONE IV – ZERO [1]
44 — 45. Regole per le operazioni aritmetiche relative allo zero: due sezioni.
Nell’addizione, zero rende la somma uguale alla quantità addizionata [2] [0 + n = n]
Nel quadrato e [radice quadrata] [3] il risultato è zero [0^2 = 0 ; √0 = 0]
Una quantità definita [4] divisa per zero è il sottomultiplo di zero [5] [n ÷ 0 = n/0]
Il prodotto di [una quantità moltiplicata per] zero è zero [n x 0 = 0], ma deve essere mantenuto come un multiplo di zero [6] [n x 0 = n ], se impiegato come termine per una successiva operazione [es. 14 x 0 = 0 ; 14 x 0 + 7 = 21]
Essendo zero divenuto un moltiplicatore, se zero diventasse un divisore, la quantità intera deve intendersi immutata [n x 0 = n ≅ n ÷ 0 = n]
Allo stesso modo, qualsiasi quantità, a cui lo zero è aggiunto o viene sottratto, [resta inalterata] [n + 0 = n; n – 0 = n]
[1] Sunya, cha e altri sinonimi di vuoto o spazio etereo: niente o zero; un blank (spazio bianco) o la privazione di una specifica quantità. Crishn. in V'tja-ganita (Matematica)
L’aritmetica di zero è trattata brevemente da Brahmagupta nel capitolo sull’Algebra, § 19 — 24. Vedi CII in Aritmetica di Brahmagupta § 13, Nota.
[2] Cshépa: quello che è messo o aggiunto nella (addizione): addendo.
[3] Involution, &c. Sono quadrato e radice quadrata; cubo e radice cubica.
[4] Ràsi. Vedi § 36 (Frazioni)
[5] Cha-hara, una frazione con zero a denominatore. Concordante con il commento di Gan'e's'a, una quantità indefinita, illimitata o infinita: dal momento che non può essere determinata quanto sia grande. Immutata [frazione con zero] per addizione o sottrazione di quantità finite: dal momento che nelle operazioni preliminari di riduzione di entrambe le frazioni al comune denominatore, al fine di eseguire la loro somma o sottrazione, entrambi numeratore e denominatore di quantità finite si annullano [n/0 ± n/m = 0 ÷ 0 x n ± 0 ÷ m x n = 0 ± 0 = 0], Ranganatha afferma che essa (frazione con zero) è infinita, perché più piccolo è il divisore, più grande è il quoziente: perché l’estremo limite minimo dà un quoziente infinitamente grande. Vedi Viya-ganita (Matematica), § 14.
[6] Chaguna, una quantità che ha zero per moltiplicatore. Zero è messo accanto al moltiplicando, per designarne [la funzione].
46. Example. Tell me how much is cipher added to five ? and the square of cipher? and its square root ? its cube? and cube-root? and five multiplied by cipher? and how much is ten, subtracting cipher? and what number is it, which multiplied by cipher, and added to half itself, and multiplied by three, and divided by cipher, amounts to the given number sixtythree?
Statement : 0. Cipher added to five makes 5. Square of cipher, 0. Square-root, 0. Cube of cipher, 0. Cube-root, 0.
Statement : 5. This, multiplied by cipher makes 0.
Statement: 10. This, divided by cipher, gives 10/0
Statement: An unknown quantity; its multiplier, 0; additive, 1/2; multiplicator, 3; divisor, 0; given number, 63; assumption, 1. Then, either by inversion or position, as subsequently explained (§ 47 and 50), the number is found, 14. This mode of computation is of frequent use in astronomical calculation.
46. Esempio. Dimmi quanto fa zero sommato a cinque? E il quadrato di zero? E la sua radice quadrata? E il suo cubo? E la radice cubica? E cinque moltiplicato zero? E quanto fa dieci, sottraendo * zero? E quale numero è quello, che moltiplicato per zero e sommato a un mezzo di sé stesso, e moltiplicato per tre, e diviso per zero, dà come risultato il numero sessantatré?
Soluzione: 0. Zero sommato a cinque fa 5. Il quadrato di zero,0. La radice quadrata, 0. Il cubo di zero, 0. La radice cubica, 0.
Soluzione: 5. Questo, moltiplicato per zero fa 0.
Soluzione: 10. Questo, diviso per zero, dà 10/0.
Soluzione: Una quantità sconosciuta; il suo moltiplicatore, 0; l’addendo, 1/2; il moltiplicatore, 3; divisore, 0; numero dato, 63; postulato, 1. Allora, o per inversione o per posizione, come spiegato in seguito (§ 47 e 50), il numero viene trovato, 14. Questo modo di calcolare è di uso frequente nel calcolo astronomico.
[postulato 1, inversione; postulato 2, supposizione]
* Ho tradotto fedelmente “subtracting”, quello che appare un errore della traduzione inglese, anche in riferimento alla soluzione del quesito, 10/0
OSSERVAZIONI
44 — 45. Regole per le operazioni aritmetiche relative allo zero: due sezioni.
Le operazioni in sequenza sono:
- somma di n (numero) + 0
- quadrato 0^2
- radice quadrata √0
- divisione n/0, n sottomultiplo di 0
La nota [5] illustrativa della divisione con lo 0 chiarisce l’oscurità del testo inglese: “A definite quantity divided by cipher, is the submultiple of nought” [5], di cui si deve considerare corretta la traduzione in lingua italiana: “Una quantità definita divisa per zero è il sottomultiplo di zero.” C’ha-hara, il termine sanscrito traslitterato, indica una frazione con zero a denominatore. Questa traduzione concorda con il commento di Gan'e's'a, che nel denominatore indica una quantità indefinita, illimitata o infinita, dato che non può essere determinata quanto sia grande. In tal senso, la frase deve intendersi: “Una quantità definita divisa per zero ha zero come sottomultiplo.” Infatti, in simboli numerici, la rappresentazione avviene attraverso la frazione con zero come denominatore: n/0. In tal senso il denominatore è il “sottomultiplo”, che corrisponde al moltiplicatore come “multiplo” nella moltiplicazione correlata. [n/0 = n ≅ n x 0 = n]
La nota [6] chiarisce il senso del termine sanscrito “Chaguna”: una quantità che ha zero per moltiplicatore, messo accanto al moltiplicando.
Oltre al chiarimento sulle espressioni in inglese, che traducevano il sanscrito del testo originale, restano da chiarire due punti: 1] la differenziazione per la moltiplicazione con lo zero, se semplice o seguita da altra operazione; 2] l’addizione e la sottrazione con altre frazioni di un numero fratto zero, operazioni che comportano la riduzione di entrambe le frazioni ad un comune denominatore.
Per quanto riguarda il punto 1], bisogna tenere presente che lo 0 veniva assunto come numero e impiegato in operazioni già nel ‘600 da Brahmagupta. Questo non toglie che sul problema vi sia stata un ulteriore riflessione, che con Bhaskara nel XII secolo ha indicato il modo per considerare inalterato il numero moltiplicato o diviso per zero. Infatti nelle operazioni con più termini, messe in fila orizzontale, la moltiplicazione di un numero per zero non produce “niente”, come dire ha un prodotto zero, che non impedisce di procedere oltre, così come andando a rovescio, dividendo con zero, il dividendo rimane inalterato. Infatti, l’autore conclude con la similitudine: “ Allo stesso modo, qualsiasi quantità, a cui lo zero è aggiunto o viene sottratto, [resta inalterata]” Per quanto riguarda il punto 2], la scelta dello zero come comune denominatore, implica che 0 : 0 = 0, come peraltro già ammesso da Brahmagupta sei secoli prima, e quindi riduzione allo zero di ogni successiva operazione.
Es. 1/0 ± 2; 0 : 0 x 1 = 0; 0 : 1 x 2 = 0; quindi (0 ± 0) / 0 = 0/0 = 0
- moltiplicazione n x 0, come regola n x 0 = 0; ma come termine contenuto in una serie di operazioni aritmetiche, non viene moltiplicato, e rimane inalterato. Negli esercizi del paragrafo 46, nella serie di operazioni aritmetiche, si trovano la moltiplicazione e divisione con zero, che lasciano inalterato l’operando.
- Se quindi zero è un moltiplicatore (che lascia inalterato il moltiplicando), allora è anche un divisore, che lascia inalterato il dividendo (numeratore). Si tratta della relazione tra multipli e sottomultipli: nella divisione, il prodotto tra il quoto (quoziente senza resto) e il divisore (sottomultiplo) è uguale al dividendo.
Se, infatti n ÷ 0 = n, allora n x 0 = n.
La regola, quindi, è che nelle operazioni aritmetiche in sequenza, la moltiplicazione e la divisione con lo zero, lasciano immutati gli operandi.
Allo stesso modo rimangono inalterate le quantità definite, a cui lo zero è aggiunto o viene sottratto. [n + 0 = n; n – 0 = n]
Il lato oscuro che le regole della matematica moderna non chiariscono è perché il prodotto di un moltiplicando n per un moltiplicatore 0 è uguale a 0.
Se, infatti, n x 0 = 0, allora 0 ÷ 0 = n. L’incongruenza è visibile nella regola che ammette 0 x 0 = 0, ma dichiara errore 0 : 0 = 0, sulla base del principio che è impossibile dividere un numero per zero.
LE REGOLE OSCURE
1. La logica nullificatrice
Perché dividere un numero per zero è impossibile? Risaliamo alla fonte prima.
Il Brahmasphuta Siddhanta di Brahmagupta (598-668) è il più antico testo conosciuto che tratta lo zero come un numero e cerca di definire le operazioni che lo riguardano, lasciando insoluta la divisione di un numero per zero, tranne la divisione dello zero per zero: “Un numero positivo o negativo diviso per zero è una frazione avente lo zero al denominatore. Zero diviso per un numero negativo o positivo è equivalente sia allo zero che ad una frazione avente lo zero al numeratore e una quantità finita al denominatore. Zero diviso per zero è zero."
Quest’ultima affermazione è stata definita l’errore di Brahmagupta, in quanto appare impossibile, nella serie infinita dei numeri naturali, dividere un numero per zero, quindi anche lo zero. Abbiamo già visto come è stata trattata la questione in seguito da Bhaskara. Intanto, sgombriamo subito il campo da un equivoco. Essendo stato il primo a trattare lo zero come un numero, Brahmagupta si è trovato a dover affrontare per primo il problema della divisibilità di un numero per zero, e si è limitato ad affermare che “un numero positivo o negativo diviso per zero è una frazione avente lo zero al denominatore”. In tal modo ha configurato la divisione per zero come la frazione a/0, che nella matematica moderna, non è ritenuta configurabile nella serie dei numeri frazionari, di cui riprendiamo la definizione dal web.
FRAZIONARI I numeri frazionari sono coppie ordinate di numeri interi nella forma m/n con n ≠ 0. “m” è detto numeratore e “n” denominatore. Questa definizione deve essere integrata da altre. RAZIONALI “Un numero che può essere rappresentato con una frazione si dice numero razionale (Q). L’insieme dei numeri interi è contenuto in quello dei razionali perché ogni numero intero “z” può anche essere scritto come z/1. Un numero razionale può essere positivo o negativo. Il segno di una frazione dipende dal segno del numeratore e denominatore. Se hanno lo stesso segno, il segno dalla frazione è positivo; se di segno opposto, il segno della frazione è negativo. 0/1 esiste e dà risultato 0 mentre 1/0 non dà valore 0, ma dà la logica risposta: non esiste.” Quindi è la logica nullificatrice (“non esiste”), che esclude 1/0 dai numeri razionali, così detti non da “ratio” come “ragione”, ma da ratio come “rapporto” tra numeri. In verità, i numeri razionali seguono una ragione, quella che nel rapporto tra loro hanno sempre una “proprietà”: divisi tra loro, o risultano come numeri interi, oppure come decimali, che dopo la virgola, presentano una serie regolare di numeri. I decimali che dopo la virgola presentano una serie infinita di numeri costituiscono la serie dei numeri irrazionali, ad es. la radice quadrata di due, rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato, che vale 1,4142136… Sono i numeri irrazionali scoperti dai Greci, come ad es. anche il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio (π): 3,14159265358979323846…
Resta da comprendere l’affermazione di Brahmagupta di a:0 = a/0. Possiamo dire che se la divisione appare impossibile, secondo il criterio che quanto più si avvicina allo zero il denominatore tanto più aumenta all’infinito il quoziente, possiamo risolverla con il criterio indicato da Bhaskara. Un numero moltiplicato per lo zero rimane inalterato se segue un’altra operazione, e quindi anche la divisione per lo zero nella soluzione all’inverso. Es. 7 x 0 + 14 = 21, e quindi 21 - 14 : 0 = 7.
Ma esiste una pratica applicazione di questo criterio? Noi ne abbiamo trovata una in geometria: il calcolo dell’area del triangolo degenere.
[N. d. B.]
“La luna tra le nuvole” rappresenta il secondo paragrafo di “Le regole oscure”, dove viene dimostrata “l’eresia”, per le moderne verità matematiche, della divisione per zero, nell’ambito del calcolo dell’area del triangolo degenere. Per questo testo, vale quanto già raffigurato in immagine per le regole oscure, quello spazio coperto da nuvole, dietro cui si nasconde e da cui filtra la luce delle verità matematiche.
LA LUNA TRA LE NUVOLE
Il triangolo degenere ha un angolo di 180° e gli altri due 0°, e un lato misura la somma degli altri due. Si può disegnare come un segmento, il cui perimetro (2p) risulta uguale alla base. Es. 2p = 12, b = 12, l x 2 = 12, h = 0.
Se vogliamo calcolare l’area del triangolo degenere secondo la matematica ufficiale, abbiamo nel nostro esempio A= (b x h) / 2 ovvero A = (12 x 0) / 2 = 0.
Secondo l’aritmetica di Bhaskara, invece, A = 12 x 0 : 2 = 6. [1]
Una controprova l’abbiamo calcolando l’area con la formula di Erone, ossia la radice quadrata del semiperimetro (p) moltiplicato per il prodotto dei lati (a, b, c), diviso 2. A = √ [p (p-a) (p-b) (p-c)]. Es. A = √ [6 (6-12) (6-6) (6-6 )] = √ 6 (-6) x 0 x 0 = √ - 36 = 6i.
[1] Il risultato 6 di (b x h)/2 è un numero quadrato, ossia 6^2 = 36. Questo numero reale può essere convertito in numero immaginario, comprendente quella realtà geometrica immaginaria della superficie del triangolo degenere, non esprimibile con un numero reale. Quindi, √6^2 · √−1 = √36 · √−1 = 6 · i = 6i
La radice quadrata di un numero negativo non esiste nei numeri reali, in quanto un numero negativo moltiplicato per sé stesso dà sempre un risultato positivo. Per dare un valore alle radici quadrate dei numeri negativi, è stato indicato con un numero immaginario (i), il valore della radice quadrata di −1. √−1 = i.
NOTA
Il calcolo dell’area del triangolo degenere comporta la possibilità della divisione per zero, un’eresia per la matematica moderna. A = b x h; A = b x 0 = 0; 0 = b x 0; b = 0 : 0.
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