Le regole oscure
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“Dobbiamo pensare che ciascuno di noi, esseri viventi, è come una prodigiosa marionetta realizzata dalla divinità, per gioco o per uno scopo serio, questo non lo sappiamo." (Platone, Leggi, 1, 644e)
2 commenti:
[N. d. B.]
La ragione del titolo “Le regole oscure”, collegato al testo “Aritmetica dello zero”, di cui costituisce la naturale prosecuzione, può rintracciarsi in una immagine. È quella del cielo notturno coperto da nuvole, attraverso cui filtra la luce della luna, che però non appare nello splendore della sua bellezza. Allo stesso modo, le regole sono oscure, perché coperte da una coltre di nuvole, che al loro diradarsi riveleranno lo splendore nascosto e tutta la meraviglia di quella luce.
LE REGOLE OSCURE
1. La logica nullificatrice
Perché dividere un numero per zero è impossibile? Risaliamo alla fonte prima.
Il Brahmasphuta Siddhanta di Brahmagupta (598-668) è il più antico testo conosciuto che tratta lo zero come un numero e cerca di definire le operazioni che lo riguardano, lasciando insoluta la divisione di un numero per zero, tranne la divisione dello zero per zero: “Un numero positivo o negativo diviso per zero è una frazione avente lo zero al denominatore. Zero diviso per un numero negativo o positivo è equivalente sia allo zero che ad una frazione avente lo zero al numeratore e una quantità finita al denominatore. Zero diviso per zero è zero."
Quest’ultima affermazione è stata definita l’errore di Brahmagupta, in quanto appare impossibile, nella serie infinita dei numeri naturali, dividere un numero per zero, quindi anche lo zero. Abbiamo già visto come è stata trattata la questione in seguito da Bhaskara. Intanto, sgombriamo subito il campo da un equivoco. Essendo stato il primo a trattare lo zero come un numero, Brahmagupta si è trovato a dover affrontare per primo il problema della divisibilità di un numero per zero, e si è limitato ad affermare che “un numero positivo o negativo diviso per zero è una frazione avente lo zero al denominatore”. In tal modo ha configurato la divisione per zero come la frazione a/0, che nella matematica moderna, non è ritenuta configurabile nella serie dei numeri frazionari, di cui riprendiamo la definizione dal web.
FRAZIONARI I numeri frazionari sono coppie ordinate di numeri interi nella forma m/n con n ≠ 0. “m” è detto numeratore e “n” denominatore. Questa definizione deve essere integrata da altre. RAZIONALI “Un numero che può essere rappresentato con una frazione si dice numero razionale (Q). L’insieme dei numeri interi è contenuto in quello dei razionali perché ogni numero intero “z” può anche essere scritto come z/1. Un numero razionale può essere positivo o negativo. Il segno di una frazione dipende dal segno del numeratore e denominatore. Se hanno lo stesso segno, il segno dalla frazione è positivo; se di segno opposto, il segno della frazione è negativo. 0/1 esiste e dà risultato 0 mentre 1/0 non dà valore 0, ma dà la logica risposta: non esiste.” Quindi è la logica nullificatrice (“non esiste”), che esclude 1/0 dai numeri razionali, così detti non da “ratio” come “ragione”, ma da ratio come “rapporto” tra numeri. In verità, i numeri razionali seguono una ragione, quella che nel rapporto tra loro hanno sempre una “proprietà”: divisi tra loro, o risultano come numeri interi, oppure come decimali, che dopo la virgola, presentano una serie regolare di numeri. I decimali che dopo la virgola presentano una serie infinita di numeri costituiscono la serie dei numeri irrazionali, ad es. la radice quadrata di due, rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato, che vale 1,4142136… Sono i numeri irrazionali scoperti dai Greci, come ad es. anche il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio (π): 3,14159265358979323846…
Resta da comprendere l’affermazione di Brahmagupta di a:0 = a/0. Possiamo dire che se la divisione appare impossibile, secondo il criterio che quanto più si avvicina allo zero il denominatore tanto più aumenta all’infinito il quoziente, possiamo risolverla con il criterio indicato da Bhaskara. Un numero moltiplicato per lo zero rimane inalterato se segue un’altra operazione, e quindi anche la divisione per lo zero nella soluzione all’inverso. Es. 7 x 0 + 14 = 21, e quindi 21 - 14 : 0 = 7.
Ma esiste una pratica applicazione di questo criterio? Noi ne abbiamo trovata una in geometria: il calcolo dell’area del triangolo degenere.
(Segue)
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