Eudoxian
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‘Kde domov muj’? ‘Dov’è la mia patria?’ Non è un inno di guerra, non auspica la rovina di nessuno, canta senza retorica il paesaggio della Boemia con i suoi colli e pendii, le pianure e le betulle, i pascoli e i tigli ombrosi, i piccoli ruscelli. Canta il paese dove siamo a casa nostra, è stato bello difendere questa terra, bello amare la nostra patria (Milena Jesenskà)
Copenaghen
Bruxelles Louiza
“Dobbiamo pensare che ciascuno di noi, esseri viventi, è come una prodigiosa marionetta realizzata dalla divinità, per gioco o per uno scopo serio, questo non lo sappiamo." (Platone, Leggi, 1, 644e)
39 commenti:
[N. d. B.]
Nel terzo paragrafo di "Gli insiemi infiniti", leggiamo: "3) l’insieme formato da tutti quei punti dell’intervallo (α … β), le cui ascisse sono numeri razionali della forma 2n + 1 (dove n e m sono numeri razionali interi).” 2m"
A causa del format, la frazione 2n +1 / 2m è stata resa in maniera distorta, essendo il denominatore 2m finito incongruamente alla fine della frase, e non allineato sotto il numeratore 2n + 1.
Questa Nota era dovuta per tutti i lettori che avevano rilevato l’incongruenza, tranne sicuramente uno. Chi? Tu. E ti pareva! Ehi, dèmone, sveglia! Eh? La luna è tramontata da quattro ore circa, H 01.15. Ma sorge tra circa 10 ore, H 17,33. E allora? Abbiamo tempo. Certo, nel frattempo, parliamo della mezzaluna. Come? Eudoxian. Ah!
EUDOXIAN
Ho bussato alla porta e sono rimasto in attesa, poco dopo Annamaria è venuta ad aprire la porta. “Ah, sei tu, Eudosso! Entra.” Si è spostata e mi ha fatto entrare. Poco dopo, in salotto, ho detto: “Scusa il ritardo”. “Non ti preoccupare” mi ha rassicurato. Ho tirato fuori dalla tasca la cartolina da Istanbul di Ettorino e l’ho mostrata a lei. Non si è molto scomposta, Elisea, la madre, lo sapeva già. Che cosa? Che Ettorino mi aveva mandato la cartolina? “No,” Annamaria mi ha guardato, un’espressione sconfortata, che io conosco (voi uomini non capite niente), “che stava ad Istanbul” ha aggiunto stancamente. Noi uomini, Annamaria hai ragione, non capiamo niente, quindi spiegami perché Ettorino, tuo nipote, mi manda una cartolina da Istanbul. Allora, è vero? Che cosa? Che voi uomini, che tu, Eudosso, non capisci niente. Annamaria non è una che in genere ride, poi dopo la morte di Evaristo, bisogna risollevarle il morale, ha soltanto fatto la smorfia di un sorriso: “Tu, non dici che sei un matematico?” Mai detto! Ma come fanno “queste” a farmi dire cose che non ho mai detto? “Queste” chi? Voi nobildonne, cara. Ah! È già meglio. Battute scambiate con lo sguardo. Comunque io sono agheōmètrētos. Che cosa? Non posso accedere all’Accademia di geometria. E perché? Perché non sono gheōmètrētos. E diventalo!
Annamaria digitava sullo smartphone. Ma con chi stati chattando? “Con Elisea, tra poco viene qui.” Mi sono alzato in piedi: “Allora, io me ne vado.” Non ha distolto lo sguardo dallo smartphone, Annamaria, ha soltanto detto: “Siediti!” Io mi sono seduto. Poco dopo è arrivata Elisea, allora io ho cominciato a spiegare la situazione, ma prima ho dato la cartolina da Istanbul di Ettorino a sua madre. In quel momento, ho capito, con l’aria di sufficienza di Elisea nel prendere la cartolina, che era stata lei a suggerire al figlio di spedirmi i suoi saluti dalla città dei sette colli, sul Bosforo, fondata da Costantino, la Roma d’Oriente. Ho quindi dato la mia spiegazione.
“Ettorino non si è mai mosso da Roma.” Le due donne mi hanno guardato prima con sorpresa, subito dopo con indifferenza: “Se Ettorino si muove, nell’istante, non può stare in un luogo più avanti a dove non sta, essendo egli sempre in sé stesso, quindi, come una freccia scoccata da un arco che non si muove nello spazio, per raggiungere il bersaglio, occupando sempre il suo spazio proprio nell’istante e così di seguito, allo stesso modo, Ettorino, quando è scoccata la sua ora, da Roma non si è mosso, rimanendo egli sempre nello spazio occupato da sé stesso.” Nemmeno fosse paralitico! Quest’ultima battuta l’ho pensata sorridendo sarcastico, ma guardandomi bene dal pronunziarla, anzi addirittura dal pensarla, questo Eudosso che sono io, più propriamente Eudoxian, tipo spiritoso, certo non tanto in consonanza con il significato del nome, l’uomo dalla “giusta (eu) opinione (doxa)”. Le due donne mi guardavano, senza parlare, pensavano ad altro, anche se avevano davanti a loro la mia sagoma, la sagoma, ripeto, di Eudosso. Ma non era come in quel flashback, in cui vedo l’anziano uomo brillo, che a tavola guardando il vuoto, a beneficio dei convitati silenziosi, così si esprime: “Non parlano, ti guardano in silenzio, forse ti stanno giudicando.” E poi rideva di questa sua battuta, l’anziano uomo brillo.
Forse, io mi trovavo nella stessa situazione, in cui si trovava costantemente lui, il pagliaccio che non faceva ridere o muoveva al riso soltanto quegli astanti, che vogliono ridere, ascoltando i suoi discorsi clowneschi. Non era così per me o lo era? Annamaria e la sorella non pensavano a me, mi guardavano parlare, sì, è corretto dirlo: guardavano il mio parlare senza ascoltarlo. Era un suono indistinto quello che raggiungeva le loro distanti orecchie, in ascolto di altri lontani echi. Non mi restava che proseguire: “È il paradosso della freccia di Zenone, tramandatoci da Aristotele…” Avevo ripreso a parlare, ma subito tacqui. Cambiai discorso: “Se Ettorino sta a Istanbul e si sposta verso Roma, senza muoversi, come fa a trovarsi qui?” Avevo rovesciato la situazione. “Roma?” disse Annamaria. Eh già! Mi sembra che avesse fatto eco la sorella. Ma non avevo capito bene. Come? Mi sporsi verso Elisea. “Jaipur!” gridò la madre di Ettorino in tono isterico. Mi ritirai di colpo, colpito dal grido. “Va in India” spiegò Annamaria. Non sapevo che dire, e tacqui. Infine, mi alzai: “Bene, io vado” dissi. Le donne non si alzarono dal divano. “Fammi mandare altre cartoline dall’Oriente” dissi ad Elisea. Non rispose. “Dove stai andando, agheōmètrētos?” Mi voltai sorpreso, più dalla corretta pronuncia che non dall’ironia. “Ho sentito bene?” dissi. “Certo” rispose Annamaria. Arrivai alla porta, ma tornai indietro, il defunto Evaristo era tra noi: “Ciao, Annamaria” dissi, con l’aria commossa. Lei si alzò in piedi e mi abbracciò, aveva il viso bagnato. Si alzò anche Elisea e mi sfiorò entrambe le gote con il suo viso. Io avevo gli occhi che mi brillavano. “Vi chiederò notizie di Ettorino” dissi prima di uscire.
Quando Evaristo era improvvisamente morto, io mi trovavo a Puspo, no, non quella lontana d’Indonesia, Giava orientale, dove peraltro non sono mai stato, ma nella località omonima delle Puglie, Puspo, contrada di Carovigno, vicino a Ostuni, la città bianca. Era arrivata nel porto di Brindisi la “Griechenland”, nave da crociera tedesca di un armatore greco, su cui lavorava come wedding planner Maria Alfonsina, la figlia di Annamaria e Alfonso, il suo primo marito, da cui aveva divorziato, ma poi era morto, in un tempo malaugurato. Sarà stato un caso, ma Alfonso era anche il nome del suocero, l’Alfonso Vitali Fonseca, padre di Evaristo. Era stata la giovane ad avvertirmi della morte del patrigno, era in rotta con la madre da tempo, non ne aveva mai approvato il divorzio. Io sono cugino di Alfonso, non il suocero, ma l’ex-marito di Annamaria, e mi sono trovato in mezzo tra Maria Alfonsina e sua madre, dopo la morte di Alfonso. Quando arrivai a Roma, Evaristo era già stato seppellito sulla collina degli asfodeli, e Fernandez era diventato di casa, ma poi era caduto in depressione ed era finito in “psichiatria”. E le due donne, la madre e la zia di Ettorino, mi avevano coinvolto in queste vicende di studi di matematica e geometria, ereditate da Evaristo, così mi sono dato allo studio della logica e della logica matematica, ecco perché ero preparato sui paradossi di Zenone. Uscito dalla loro casa, stavo attraversando la strada, quando sono stato avvicinato da un giovane in livrea, Pierandrea, autista dell’Accademia di Geometria. Era fermo a bordo dell’automobile di servizio, mi ha chiamato e mi ha consegnato l’invito del matematico Pitodoro, che teneva una conferenza in Accademia sui solidi regolari di Teeteto. Un caso? Chi manovrava alle mie spalle? Ho accettato. L’autista ha salutato con un gesto della mano ed è ripartito. Io ho guardato in alto verso le finestre della casa di Annamaria. Stavano spiando dai vetri le due sorelle? Comunque dovevo concentrarmi sui paradossi di Zenone, ne avrei parlato a Silvia Napolitano, donna elegante e intrigante e anche molto intelligente, interessata ai linguaggi della matematica e alle conversazioni di logica.
L’AEROPLANO E LA NAVE
“Infatti Zenone l’eleata, opponendosi a coloro che mettevano in ridicolo l’opinione del suo maestro Parmenide, che l’ente è uno, e difendendo l’opinione del maestro, tentò di dimostrare che è impossibile che ci sia una molteplicità di enti. Se infatti, dice, vi è la molteplicità , poiché la molteplicità è costituita di molte unità, è necessario che vi siano le molte unità di cui è composta la molteplicità. Ora, se riuscissimo a dimostrare che è impossibile che ci siano più unità, è chiaro che è impossibile che ci sia la molteplicità: infatti la molteplicità è costituita di unità. Se è impossibile che ci sia la molteplicità (ed è necessario che vi sia o l’unità o la molteplicità; ma che ci sia la molteplicità è impossibile) resta che ci sia l’unità…” Qui il testo di Giovanni Filopono, erudito e scienziato bizantino del VI secolo, può essere confrontato con quello di Eudemo di Rodi, ἑταῖρος ovvero compagno di Aristotele, alla maniera di Teofrasto, il successore del fondatore nella direzione del Peripato, quindi non discepolo, diremmo alla maniera inglese, un “pari” del Peripato. “Si narra che Zenone abbia detto che se qualcuno gli avesse saputo mostrare che cosa mai era l’unità avrebbe potuto affermare la molteplicità degli enti. L’aporia da lui sollevata consiste, come pare, in questo, che da un lato ciascuna delle cose sensibili è dichiarata molteplice e per la molteplicità dei predicati e per divisione, e dall’altro lato il punto non è, per lui, neppure unità.” Questo frammento di Eudemo è riportato in Simplicio, filosofo e matematico bizantino del VI secolo. Dico questo non per un’esibizione di erudizione o per acribia intellettuale, ma per mostrare da quanti grandi studiosi del passato le tesi di Zenone fossero tenute in considerazione e siano giunte fino a noi. Ora, di fronte ad una tale attenzione di studio della migliore tradizione antica e bizantina, io mi domando: “Ma non può apparire, non dico ridicolo e buffonesco, ma quanto meno discutibile l’atteggiamento tenuto da Antistene il cinico, il quale per confutare i cinque argomenti con cui Zenone provò la tesi del suo grande maestro Parmenide, che l’essere è immobile, che cosa fece? Si alzò in piedi e si mise a camminare.”
Certo, è vero, anche Russell andava cercando dietro il divano del salotto i rinoceronti di cui gli stava dicendo imperturbabile Wittgenstein, ma il filosofo e matematico inglese dubitava delle facoltà mentali di quel giovane austriaco, logico e matematico, in cui si era illuso di aver incontrato un suo epigono, questa matematica che dà alla testa. Ma vogliamo mettere a confronto Russell con Antistene il cinico? Che cosa voleva dimostrare Antistene con quel balletto, con quei suoi passettini? “Riteneva che più sicura di ogni contestazione di ragionamenti fosse la dimostrazione mediante l’evidenza sensibile.” Così conclude Proclo, e certo noi non vogliamo addebitare a Proclo questo suo dovere di cronaca.
È Antistene il cinico, che non riuscendo ad esprimersi concettualmente, scimmiottava la concettualità dei discorsi di Zenone, come coloro che non sapendo esprimersi a parole, per farsi capire, cominciano a gesticolare, tipo i napoletani sotto la dominazione spagnola. Anche se c’è una riserva per quei popoli, i cui territori sono conquistati dai barbari, ed essi sottomessi non capiscono i suoni gutturali che costoro emettono. Io, però, mi ricordo una volta, avevo preso l’aereo per l’America, e quando ci siamo svegliati le hostess ci hanno servito la colazione, uno si è svegliato più tardi e all’indirizzo della hostess ha fatto segno di voler mangiare, portando la mano all’altezza della bocca e muovendola a scatti con le dita chiuse in quella direzione, per indicare i dovuti bocconi di cibo da inghiottire. Non conosceva l’inglese, forse. Ma no! Era più sbrigativo! Che cosa sono queste intermediazioni del linguaggio, se il pensiero può essere espresso con semplici gesti? Ecco dove ci portano certi atteggiamenti, come quelli di Antistene il cinico. “Non ragioniam di lor, ma guarda e passa.” Grazie, Dante. E quindi, l’aporia sollevata da Zenone non è altro che l’antinomia dell’unità del molteplice, il continuo, ovvero la molteplicità infinita dei punti sulla linea di Cantor.
Ricollegandoci a quanto asserito da Eudemo di Rodi, l’ἑταῖρος ovvero compagno di Aristotele, un suo pari, come abbiamo detto, la contraddizione tra l’unità della cosa e la molteplicità dei predicati, possiamo riprendere e concludere il discorso di Filopono su Zenone l’eleate: “Lo stesso si dimostra, partendo dalla considerazione del continuo. Infatti, se il continuo è uno, dal momento che il continuo è sempre divisibile, è sempre possibile dividere in più parti il già diviso; se è così, il continuo allora è il molteplice, di modo che la stessa cosa sarà una e molti, il che è impossibile. Ma se nessun continuo è uno, ed è necessario se c’è la molteplicità, che essa sia composta di unità, dal momento che [non è possibile che ci siano più unità di cui si componga la molteplicità], non ci sarà la molteplicità.” Qui all’Unità è contrapposta la Molteplicità.
Errando comunque tra i frammenti dei Presocratici, come ordinati in Diels-Kranz, sono risalito ad Aristotele. Che cosa dice sul tema il grande maestro? È l’esordio della Fisica.
“Poiché in ogni campo di ricerca di cui esistono principi o cause o elementi, il sapere e la scienza derivano dalla conoscenza di questi ultimi […] è evidente che anche nella scienza della natura, si deve cercare di determinare anzi tutto ciò che riguarda i principi. […] a noi risultano dapprima chiare ed evidenti le cose nel loro insieme; e solo in un secondo momento l’analisi ci consente di individuarne gli elementi e i principi. Perciò bisogna procedere dall’universale al particolare: infatti alla sensazione si presenta come più immediatamente conoscibile l’intero, e l’universale è in un certo senso l’intero, perché esso contiene molte cose come parti.” (Fisica, A, 1, 184a)
Stavo riflettendo sull’incipit dell’opera aristotelica, la scienza della natura, quando mi ha telefonato l’avvocato Riccio, ossia ho ricevuta una telefonata da un numero sconosciuto e quando ho aperto e ho detto: “Pronto”, ho sentito una voce femminile: “Sono l’avvocato Riccio, il signor Eudoxian?” “Sì” ho risposto, chiedendomi chi fosse, anzi no, cercando di capire chi fosse l’avvocato Riccio o meglio perché si presentava con il suo titolo professionale. “Mi scusi, Silvia Napolitano mi ha pregato di avvertirla che non può più vederla.” Ero io che non potevo più vederla o era lei che non mi poteva più vedere? Nel secondo caso, mi sentivo inquieto. E perché non poteva più vedermi? Che cosa le avevo fatto? “Perché?” ho domandato. “È partita.” Silenzio. L’avvocato Riccio ha addolcito la voce: “Vuole però che le mandi la tesi sui quattro paradossi di Zenone. Era molto dispiaciuta di non averla potuto avvertire, ma avrebbe perso la nave, se non fosse partita immediatamente. Last minute. Capisce?” Io non capivo, “quella” se ne andava all’improvviso, lasciandomi in braghe di tela, e mi faceva sapere tramite il suo avvocato che voleva pure il compitino su Zenone! Non era troppo? “Sì, ho capito!” dissi e stavo quasi chiudendo la comunicazione. “Un momento, scusi…” Con tipico intuito femminile, anzi no, dato il tono perentorio e conclusivo della mia voce, la mia interlocutrice capiva che io stavo per interrompere la comunicazione, allora si affrettò a dire: “Ma non mi chiede dove può raggiungere Silvia?” Come? Pensai. “Come?” dissi. “La nave attracca domani mattina a Patrasso, può raggiungerla in aereo.” Silvia? Un tono troppo poco professionale tra un avvocato e una sua cliente, ma… “Scusi,” dissi “ma…” Ma tu chi sei? Ehi! Che sono queste confidenze con una sconosciuta? Eppure, quel tono… come dire? una giovane voce familiare. “Mi scusi, avvocato Riccio, ma lei…” La giovane non si lasciò ulteriormente pregare: “Sono la figlia di Silvia Napolitano.” Ah! Adesso ricollegavo: Silvia aveva sposato un avvocato divorziato, Carlo, eccolo là! L’avvocato Carlo Riccio aveva già una figlia, anch’essa avvocato, diventata figlia di Silvia Napolitano, ma perché non l’aveva detto subito? “Va bene, raggiungerò sua madre, in aereo, anzi no!” “E perché? Il nostro studio (lo studio del papà, il marito di Silvia) può coprire tutte le sue spese. Non deve preoccuparsi, signor Eudoxian.” Alla fine, dissi: “Non è una questione finanziaria, ma un paradosso logico, avvocato Riccio.” “Come? Mi spieghi.” “Non ora, lo spiegherò a sua madre.” “Non capisco.” Sono secoli che se ne parla, come facevo a spiegarlo in quei pochi momenti di precaria conversazione al telefono con la figlia di Silvia Napolitano? Se prendo l’aereo e arrivo a Patrasso, la nave è salpata e ha percorso un tratto nel golfo di Corinto, arrivando all’istmo. Ma se il mio velivolo arriva all’istmo, la nave è salpata ed è in navigazione per Creta, e se l’aereo raggiunge in volo Creta, la nave da Creta sta navigando verso… Allora dissi: “Scusi, avvocato Riccio…” “Mi chiamo Giovanna.” “Scusi, Giovanna, ma la nave di sua madre dove è diretta?” “A al-Iskandariyya.” “Come?” “al-Iskandariyya.” Ma che sta dicendo? “Non ho capito,” dissi. Ero a disagio. “In Egitto.” Ah! Alessandria d’Egitto! “Pronto… pronto…” Sentii il tipico segnale di un bip intermittente: la comunicazione era stata interrotta. Come? Perché? E chi lo sa? Poi, comunque, risolsi il caso.
N. d. B.
È stata introdotta una variazione, nell’ultima parte del testo “L’aeroplano e la nave”, al fine di concludere il discorso di Filopono lasciato a metà. Infatti, dopo l’interruzione, il testo è passato ad esaminare un frammento di Eudemo, senza più ritornare a Filopono. Il gap era stato causato da un’incertezza della fonte, che doveva riprodurre l’originale del testo Diels-Kranz dei frammenti dei presocratici. L’aggiunta si è resa necessaria per il lettore interessato più alla dialettica di Zenone che non agli smarrimenti esistenziali di Eudoxian. Comunque, il problema filosofico dell’Uno e dei Molti costituisce il tema di discussione del “Parmenide” di Platone, dove vengono formulate le otto serie di deduzioni sulle due ipotesi dell’Essere e l’Uno.
HONEY ISLAND
Fu per caso, mentre uscivo dal centro commerciale vicino casa. Stavo andando verso l’uscita del secondo piano, quando intravidi la sua immagine su uno degli schermi televisivi esposti nel salone grande. Eh, sì! Era proprio lui: Consalvi! Mi fermai ad osservare le inquadrature: si vedeva un astronauta in tuta bianca e casco con visiera trasparente che entrava nell’ascensore della torretta, per salire in cima al missile e accedere alla capsula spaziale. Dovevano essere immagini di repertorio, forse non riguardavano lui, seppure erano riferibili all’ambiente in cui il mio amico si muoveva, quello dei voli spaziali. In verità, Consalvi non era proprio un mio amico, si tende a definirli tali, amici, i nostri conoscenti, quando costoro acquistano un certo spessore di notorietà e noi li rincorriamo, se non a piedi, almeno mentalmente. La buffonata di Antistene il cinico lo dimostra, la passeggiatina ironica, il movimento non significano niente. E se invece… Che cosa?... E se invece Antistene il cinico avesse ragione e Zenone di Elea avesse torto? Beh! … Ah, no! No, proprio no! E poi spiego perché.
Ecco, sullo schermo televisivo era riapparso Consalvi sorridente, in primo piano, aveva sollevato il casco di astronauta, stava dicendo qualche cosa, ma l’immagine era muta, si sovrapponeva infatti la voce del cronista, che parlava dell’avventura dei due clandestini dello spazio. Mi avvicinai sotto lo schermo che stava in alto, osservai sul volto dell’amico alcune rughe, cominciai ad avere dei dubbi, sembrava un altro. Poi apparve il volto di una donna anch’essa con il casco di astronauta sollevato, i capelli neri mossi, gli occhi scuri, l’ombra di una malia nell’espressione del volto, non parlava, sotto l’immagine comparve la dicitura: “Penelope de la Cruz”. Poco dopo, ripresero le immagini di repertorio, l’astronave, il razzo, la partenza, quindi apparve l’immagine di Marte, il monte Olimpus, riconoscibile, un po' più scuro sulla superficie rossa del pianeta, apparvero le immagini degli asteroidi che volavano, grandi e piccole pietre nello spazio, quindi uno spazio violaceo, colmo di puntini luminosi, la Via Lattea, le stelle, le galassie. Diedi un ultimo sguardo allo schermo televisivo e mi allontanai.
“Partirà, l’astronave partirà
Dove arriverà, questo non si sa
Sarà come l'Arca di Noè
Il cane, il gatto, io e te.”
Ma ero io che cantavo? O una musichetta che mi raggiungeva alle spalle? Mi voltai, si vedeva ancora l’immagine della Via Lattea, poi scomparve. Pubblicità!
Quindi, Consalvi era Teeteto II, o era una mia errata convinzione? Eppure l’avevo incontrato di recente, mi aveva salutato lui: “Ehi, Eudoxian, dove vai?” Sì, quello era Consalvi, certo. Ma dove stavo andando? All’Accademia di Geometria, in zona ardeatina, forse per questo collegavo Consalvi a Teeteto II. Andavo a chiedere informazioni in segreteria, mi ci aveva spedito Annamaria, ovviamente spinta da Elisea. Ma no! In verità, era per Evaristo, pare che in Accademia allestivano una cerimonia di commemorazione di un loro compianto membro acusmatico. Ma Evaristo era un apprendista scienziato, μαϑηματικός, o apparteneva alla schiera dei semplici uditori, ἀκουσματικοί? La distinzione era importante, pare che un cameriere assunto come avventizio al bar dell’Accademia avesse perso il posto, perché aveva servito il caffè prima a un acusmatico e dopo a un matematico. Per così poco? Come poco? Vuoi mettere un semplice uditore con un quasi scienziato? Addirittura licenziare il cameriere, mi sembra eccessivo. Ma no! Era stato spostato di mansioni, era diventato pulitore, uomo delle pulizie. E la donna delle pulizie? Scusa, ma tu sei un ascoltatore del mio racconto o un sindacalista? Tutte e due le cose. Bene, allora farai carriera, ne sono convinto. E così da queste storielle, piccole storie, bagatelle dell’Accademia, tramite Consalvi alias Teeteto II, ero arrivato ai vertici. Quali vertici? Quelli che dove arrivi, ti vengono le vertigini.
Ormai c’ero dentro fino al collo, o almeno così credevo, nella matematica, la geometria, la logica matematica e la filosofia, sì anche la filosofia. Non devo a Platone il mio nome? Eudoxian, l’uomo dalla giusta opinione, quasi uno scienziato. Non è la scienza opinione vera sostenuta da ragione? Chi lo dice? Platone. Ah!
E poi ho scoperto chi aveva macchinato, non contro di me a dire il vero, ma quasi. Io, quando ero stato avvicinato in strada dall’autista dell’Accademia, che mi aveva consegnato l’invito del matematico Pitodoro alla conferenza sui solidi regolari di Teeteto, il Teeteto vero, quello dell’antichità ferito mortalmente nella battaglia di Corinto, avevo alzato gli occhi verso le finestre di Annamaria ed Elisea. Che meschino ero stato io! Invece di una vera, mi ero fatto una falsa opinione. E poi avevo scoperto… ma avevo proprio gli occhi bendati? … avevo scoperto, no, mi avevano rivelato in certo modo la verità Silvia Napolitano e sua figlia Giovanna.
Come è ovvio, non sono riuscito a raggiungere la mia amica, Silvia era mia amica, me l’aveva detto lei: “Io sono tua amica.” Figuriamoci se non lo fosse stato che cosa sarebbe successo. In proposito, ho un aneddoto da raccontare, forse l’ho già raccontato. Una volta, mi ero andato a sedere su un banco in una chiesa del centro di Roma, era estate, faceva caldo fuori. Si è avvicinata una donna, e mi ha chiesto cinquanta centesimi, io non avevo una lira, e ho alzato le spalle, l’altra si è ritirata, poi si è sporta verso di me e mi ha sibilato: “Cattivo!” Ed è scivolata via. Cinquanta centesimi, Eudoxian! Possibile che non avevi cinquanta centesimi? Sì, è possibile, avevo il bancomat, la carta di credito, i soldi di plastica, che non sai mai se ci sono, ma non avevo monete. Dovrebbero mettere il POS nelle chiese cattoliche, ma credo che l’abbiano già messo, anche se magari Lutero… A proposito, se vai a Londra, in una chiesa protestante, ti siedi e senti anche della buona musica d’organo…
Silvia Napolitano, non so come, aveva saputo del mio viaggio a Puspo, in Puglia, dove Maria Alfonsina, la figlia di Annamaria, mi aveva incontrato e riferito della morte di Evaristo. Verosimilmente, devo averglielo detto io a Silvia di Puspo e delle crociere della Griechenland, e la signora ha afferrato l’occasione al volo e si è imbarcata sulla Griecheland. L’aeroplano è più veloce della nave, ma non riuscirà a raggiungerla: infatti, quando sono giunto in volo ad al-Iskandariyya (se mai ho preso l’areo per l’Egitto), la nave era partita e navigava in direzione di Porto Said. Ed è ovvio che con l’aereo “piè veloce” non potrò mai raggiungere la nave, “tartaruga” marina.
Ciao, Silvia, ci vediamo al matrimonio dell’avvocato Giovanna Riccio, si sposa con l’ingegnere Antonino Giannantonio, quello diventato μαϑηματικός all’Accademia Teetina. All’ammissione, come referenza, aveva presentato la tesi: “I quattro paradossi di Zenone”. Immagino la scena. Il selezionatore: “Ma chi ha scritto queste cose?” “Eudoxian.” “E chi è Eudoxian?” “L’amico di Consalvi.” “Consalvi… Ah!” “Posso andare, allora?” “Può andare.” E divenne μαϑηματικός, non certo grazie ai paradossi di Zenone o non lo so… Quando l’ho conosciuto, mi è sembrato un po' esaurito, stringeva sempre gli occhi, aveva l’aria sudata, pur senza essersi affannato in nessuna corsa. In viaggio di nozze sono andati ad Honey Island. Dove? L’isola del miele. E dov’è? Malta, in lingua fenicia vuol dire: ”Miele”. “Ma sono andati in nave o in aeroplano?” Come dici? Ah, non lo so, devo andare via. Dove? A studiare i paradossi di Zenone, la dicotomia. Vai, vai! Quando torni, t’interrogo.
L’ORECCHIO DI NEARCO
Ero quasi arrivato a casa, quando un ragazzino mi è venuto incontro: “Signore?” Il ragazzino si rivolgeva a me. “Che cosa vuoi? Una moneta?” “No, signore.” “E allora?” “Devo ricordarle la promessa.” “Quale?” “Deve spiegare perché Zenone di Elea non aveva torto.” Sono rimasto a fissarlo interdetto. “Beh! … no! No, proprio no!” Ha detto il fanciullo. Ero in preda allo stupore. “Chi te l’ha detto?” Ho detto bruscamente, riprendendomi dallo stupore. Il ragazzino si è rattristato. Allora, ho sorriso mi sono chinato verso di lui e ho detto: “È stato lui?” Il ragazzino ha assentito con il capo. “Quello là?” Ho detto ammiccando. Sì è voltato e ha indicato il portone di casa mia: “Sì, il signore del terzo piano.” Quindi è tornato a guardarmi. Ho tirato fuori dalla tasca una banconota di venti euro (dieci erano poco, cinquanta troppo), gliel’ho tesa e ho detto: “Ti devo pagare l’informazione.” Il ragazzino lesto ha afferrato la banconota e l’ha messa in tasca : “Grazie, signore.” Ho fatto un gesto di saluto con la mano e ho detto: “Ciao, Trasillo.” Ha fatto una mossettina con il viso, poi ha gridato: “Ciao, Eudoxian.” Ed è fuggito via. Mi sono voltato a guardarlo, mentre scompariva di corsa dietro l’angolo del palazzo, il monello di Charlie Chaplin. In quel momento gli avevo dato quel nome, per favorire la sua buona sorte un domani, come il grammatico egiziano di lingua greca Trasillo di Mende, che ha editato le opere di Platone, ma anche perché, guardando all’oggi, il nome di Trasillo fa rima con piccirillo. Poi sono andato a casa, e mentre salivo a piedi le scale, ho pensato che al terzo piano eravamo tre inquilini: io, la vedova Carrieri che abita da sola, e una nuova coppia di giovani sposi venuti a stare da noi nel palazzo, da poco tempo. E quindi? Sono giunto al piano, dove non c’era nessuno, e con la chiave ho aperto l’uscio di casa. Ho girato per le stanze vuote, quasi alla ricerca di qualcuno, forse inconsciamente Pamela, ma se n’è andata via già da qualche anno, e non l’ho più vista, credo che sia andata in America, alla ricerca di sé stessa, a suo dire. Mi sono fermato davanti alla specchiera del salotto dove lei rimaneva ad osservarsi la figura, teneva alla sua immagine con cura. E nello specchio sono comparso io, no, cioè la mia immagine, la “dicotomia”, come mi accorgevo. Ero accigliato, ho fatto qualche smorfia da clown, imitazione perfetta, o quasi. Come, quasi? La “dicotomia”. Come? “Alza, o bestia, la mano destra,” ho detto sorridente ebete allo specchio, alzando la mano destra, e la mia immagine, identico sorriso ebete, ha alzato la sinistra. Allora mi sono subito corretto, ho abbassato la destra e ho alzato la mano sinistra e sorridente trionfante ho guardato la mia immagine che sorrideva trionfante, la mano destra alzata. Ma ho subito distolto lo sguardo, per non vedere smorzare il mio sorriso nell’immagine riflessa: manca la rima, sì, ma anche senza rima, rimango sempre io, un io dimezzato non esiste, è sempre uno, come pensava Zenone (non credeva alla mente bipolare). All’euforia di tutti questi giochetti insulsi davanti allo specchio è subentrata una leggera disforia, più grave sarebbe stata depressione. E allora non guardarti allo specchio!
Se prendiamo una bacchetta, la bacchetta è “uno”, se la spezziamo in parti è “molti” “uno”, la bacchetta non è più una unità, ma una molteplicità. Siccome, però, la molteplicità non esiste, ma soltanto l’essere uno immobile, la bacchetta spezzata è un’illusione dei nostri sensi, la frattura dell’unità della bacchetta non è logica. Infatti, i molti uno della bacchetta spezzata starebbero a indicare che l’uno è molteplice, molti uno, ma questa è una contraddizione. E invero, se uno è uno, come fa ad essere uno e molti uno, senza contraddirsi. Ecco la dialettica di Zenone.
Bene, avevo in mente il tema da svolgere, ma ora dovevo stendere il testo, Silvia Napolitano ricordati che quando torni… dov’era andata? A Porto Said, adesso forse era in navigazione nel Golfo Persico, verso Gibuti o lo Yemen… ma no, il movimento non esiste… Silvia Napolitano non si è mai mossa. Eudoxian? Eh? Lascia perdere questi pensieri e pensa alla logica e alla logica matematica. Vado al computer e scrivo.
“Zenone di Elea era discepolo di Parmenide…” Eudoxian? Che c’è? Il monello di Chaplin. Ah, già, dimenticavo! Allora, ecco alcune testimonianze che parlano da sole.
“E pensano di poter commettere ingiustizia coloro per cui, al contrario, l’ingiustizia si converte in una lode; per esempio, se si ottiene insieme di vendicare il padre o la madre, come fece Zenone.” (Aristotele, “Retorica”, A, 12, 1372b 3)
“Siccome la sua patria era duramente tiranneggiata da Nearco, ordì una congiura contro il tiranno. Scoperto e interrogato da Nearco nei tormenti della tortura su chi fossero i suoi complici: “Magari – disse – allo stesso modo che sono padrone della lingua così fossi padrone del corpo!” Allora il tiranno lo sottopose a tormenti molto più violenti e Zenone fino a un certo punto resistette; poi, volendo essere liberato dai tormenti e nello stesso tempo punire Nearco, meditò un inganno di questo genere. Alla massima tensione dello strumento di tortura, fingendo di esalare l’anima, gridò: Lasciate! Dirò tutta la verità”. Sospesa la tortura, richiese che il tiranno si avvicinasse per ascoltarlo da solo a solo, perché molte delle cose che stava per dire, era opportuno che rimanessero segrete. Il tiranno si avvicinò con gioia e accostò l’orecchio alla bocca di Zenone, il quale con un morso gliel’afferrò con i denti. I servi subito accorsero e usarono contro il torturato ogni tormento, perché egli lasciasse la presa; ma egli molto più si attaccava. Alla fine, non potendo vincere la sua forza d’animo, lo trafissero ai lati, perché lasciasse la presa. Con questo espediente fu liberato dai tormenti e subì da parte del tiranno l’inevitabile punizione.” Quest’ultima testimonianza ci è stata resa dallo storico siceliota Diodoro Siculo (I sec. a.C.).
“Ermippo dice che egli fu gettato in un mortaio e pestato a morte.” (Diogene Laerzio) E vogliamo mettere a confronto Zenone l’eleate con Antistene il cinico? Ancora Diogene riferisce: “I cittadini, incitati dal suo esempio, subito abbatterono il tiranno.”
REGRESSUS IN INFINITUM
La dicotomia ovvero la divisione di uno in due è una contraddizione. Argomenta Zenone: l’uno diventa uno e uno, ogni successiva dicotomia comporta sempre molti uno, ma molti uno, la molteplicità dell’uno è impossibile. Se uno è uno, non può essere uno e molteplice, una contraddizione logica. Per Aristotele, però, un tale modo di argomentare non è un sillogismo, ragionamento logicamente corretto che congiunge termini diversi, ma un paralogismo, ovvero un falso sillogismo, ragionamento errato quanto alla forma, a causa della presenza di un termine medio non univoco, avente significati diversi in ciascuna delle premesse. E così confuta i paralogismi di Zenone.
“Quattro sono i ragionamenti di Zenone intorno al movimento, che mettono di cattivo umore quelli che tentano di risolverli. Il primo intende provare l’inesistenza del movimento, per il fatto che l’oggetto spostato deve giungere alla metà, prima che al termine finale.” (Fisica, Z, 9, 239b, 10-15) “Il ragionamento di Zenone erroneamente presuppone l’impossibilità che si possano percorrere gli infiniti o che possano toccarsi ciascuno successivamente in un tempo finito. Difatti, tanto la grandezza, quanto il tempo e in generale ogni cosa continua si dicono infiniti in due sensi, cioè o per divisione o per gli estremi. Pertanto, gli infiniti che sono tali secondo la quantità, non possono toccarsi in un tempo finito; quelli, invece, che sono tali secondo la divisione, lo possono, perché il tempo stesso è infinito sotto questo aspetto. Sicché nell’infinito, e non già nel finito, capita che si percorra l’infinito, e che gli infiniti si tocchino con gli infiniti, e non con i finiti.” (Fisica, Z, 233a, 20-30)
È l’ipotesi della regressus in infinitum, dove l’intero diviso contiene già tutte le sue parti, prima della divisione, e pertanto viene percorso all’infinito in tutte le sue parti infinite. L’ipotesi logica è resa matematicamente nella divisione dell’uno in metà sempre successive, che formano la serie infinita: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32… e così via. Soltanto all’infinito si potranno percorrere tutte le parti. Nella successione dei numeri naturali, tra un numero e il suo successore, troveremo sempre una serie infinita di numeri. Tra 1 e 2, per esempio incontriamo una serie infinita di numeri reali: 1… 1,1… 1,2… 1,3… e così via; come anche tra 1 e 1,1, dove incontriamo 1… 1,01… 1,001… 1,0001… e così via. Mettendo in corrispondenza tra loro le diverse serie infinite di numeri, Cantor ricavò la sua matematica degli insiemi infiniti.
È questo il ragionamento di Russell, che così scrive nei “Principia Mathematica” (328): “Si può mettere quest’argomento in forma aritmetica […]. Consideriamo una variabile x suscettibile di assumere tutti i valori reali (o razionali) tra due limiti assegnati , per esempio 0 e 1. La classe dei valori è un tutto infinito [insieme], le cui parti sono logicamente anteriori ad esso, perché esso ha delle parti, e non può sussistere se manca qualcuna di tali parti. Così numeri tra 0 e 1 presuppongono quelli tra 0 e 1/2, questi presuppongono quelli tra 0 e 1/4, e così via. Sembrerebbe quindi che nella nozione di un tutto qualunque infinto si celi un regresso infinito; ma i numeri reali non possono essere definiti senza dei tutti infiniti siffatti, perciò viene a mancare la continuità aritmetica che si applica a una serie infinita.”
La continuità aritmetica dei numeri interi, più esattamente la progressione aritmetica dei numeri interi naturali è stata sempre considerata un infinito potenziale, perché suscettibile di un accrescimento all’infinito. Se mettiamo questa serie infinita dei numeri naturali in corrispondenza con quella infinita della progressione zenoniana scopriamo, in verità lo scoprì Cantor, che esistono questo e altri infiniti, oltre quello della serie dei numeri naturali. E così può dirsi di tutte le progressioni dei numeri razionali e altre progressioni, ad es. i numeri primi, i quadrati, i cubi, i pari, i dispari e altre infinite serie, ordinate secondo criteri progressivi prefissati. Cantor definì queste progressioni insiemi infiniti in atto, numerandoli e ordinandoli secondo potenze crescenti, aleph-0, aleph-1, aleph-2 e oltre all’infinito.
Russell, venuto a conoscenza della dottrina degli insiemi infiniti di Cantor, ha ritenuto di poter costruire con pochi principi logici tutte le definizioni della matematica e anche alcuni principi della fisica teorica. In una tale ottica, può scrivere: “I numeri reali non possono essere definiti senza dei tutti infiniti siffatti.” Quindi per superare l’aporia del regressus in infinitum si avvale di strumento logici e matematici.
“Un regresso all’infinito può essere di due generi. Nel genere che si presta ad obiezioni, due o più proposizioni si uniscono a costituire il “significato” di qualche proposizione; di queste componenti esiste almeno una, il cui significato è composto alla stessa maniera; e così via ad infinitum.” (“Principia mathematica”, 329)
Siamo nel campo della progressione infinita, che nel latino medievale della filosofia scolastica (progressus in infinitum o regressus in infinitum) indica un modo di argomentare che finisce per essere circolare. Volendo spiegare una idea si ricorre a un termine, che però rinvia ad un altro termine, il quale a sua volta rinvia a un nuovo termine e così via. “Prendiamo per esempio la seguente definizione: “Si dice che due persone hanno la stessa idea, quando hanno idee simili, e le idee sono simili, quando contengono una parte identica.” Se un’idea può avere una parte che non sia un’idea, una definizione del genere non va incontro a obiezioni logiche; ma se la parte di un’idea è sempre un’idea, allora la stessa definizione deve essere sostituita nel secondo punto, in cui si parla di identità di idee e così via. Quindi, ogni volta che è in questione il significato di una proposizione, un regresso infinito non può essere ammesso, dato che non si raggiunge mai una proposizione che abbia un significato definito.” Russell prosegue con un ragionamento sull’implicazione: “Se A è una proposizione, il cui significato è perfettamente definito, e A implica B, e B implica C, e così via, abbiamo un regresso infinito di tipo assolutamente indiscutibile […] ma non ne segue che ogni proposizione implicata da A sia parte di A.” Manca una necessità logica di completare il regresso infinito, prima che A acquisti un significato. Una tale osservazione serve a dimostrare che questo tipo dell’implicazione delle parti nel tutto appartiene anche agli insiemi infiniti di numeri, che Russell chiama classi.
Arrivati a questo punto, succede un fatto strano. Eudoxian, nella sua tesina sui paralogismi di Zenone (non paradossi, come sono comunemente conosciuti) da inviare al genero di Silvia Napolitano, ha fatto una gran confusione, con quel suo scopiazzare qua e là, rendendo il testo ridondante… Un momento! Eh? Ma tu chi sei? Io, caro lettore, anzi care lettrici e cari lettori, rispettiamo la parità di genere, per favore, non facciamo come quello del sofà orientale… ma non lasciamoci fuorviare, restiamo nella nostra storia. Eudoxian, con questo mio intervento “dall’alto”, un atto autoritario, l’ho dovuto estromettere dalla narrazione come io-narrante, perché non era più in grado di reggere il suo ruolo, ma anche per un altro motivo, di cui dirò, ed invero siamo tutti soggetti ad Ananke, la Necessità (del narrare).
Quindi Eudoxian, ma diciamo pure familiarmente Eudosso, come affettuosamente si rivolge a lui con questo nome Annamaria (la vedova di Evaristo), va a consultare il testo di Russell… Ehi, nuovo narratore? Che vuoi? E se viene un altro narratore e ti soppianta, che cosa accade? Accade che anche l’altro possa essere soppiantato, e così via, siamo al regressus in infinitum. Quindi vediamo come uscirne, anzi vediamo come ne esce Russell. Allora, fai come Eudoxian? Sì, ma non sono Eudoxian, e questa è una differenza non da poco, anche se magari appare come un espediente. Qui, il nostro eroe avrebbe fedelmente ricopiato il testo, ma noi non abbiamo tempo da perdere. E perché? Dobbiamo correre dietro a Silvia Napoletano. Lo immaginavo. Dobbiamo prendere l’aereo il più veloce, il supersonico, per raggiungere la nave tartaruga marina. E come? Non lo sai? Da tempo la Griechenland è partita da Gibuti, ha attraversato il Golfo Persico, ed è sbucata nell’Oceano Indiano, quindi ha aggirato il Corno … come? … Il Corno d’Africa. Ah! E ora? La nave è in navigazione verso Mombasa. Allora affrettiamoci. Per andare dove? All’aeroporto di Fiumicino, non dobbiamo, noi Achille, prendere il volo e raggiungere Silvia, la tartaruga del mare? Certo, per Zeus! Ti seguo.
POSTILLA
Nel pubblicare un seguito, questo seguito, uno dei seguiti di “Eudoxian”, infatti ve ne sono altri, ma non all’infinito, mi sono posto il dubbio se l’espressione “Regressus in Infinitum” fosse esatta rispetto all’altra più comunemente usata di “regressus ad infinitum”. Il dubbio me l’ha risolto la IA, che ai miei tempi, voglio dire i tempi in cui scrissi “Eudoxian”, non esisteva ; ma esisteva la filosofia scolastica, da cui avevo ripreso il mio titolo filosofico, come spiega la IA:
“Entrambe le espressioni sono corrette e usate in filosofia, ma regressus in infinitum è la formula scolastica classica e più comune per indicare un rimando all'indietro senza fine. Differenze e Utilizzo.
Regressus in infinitum: Significa "regresso nell'infinito". Indica un procedimento logico o causale che torna indietro all'infinito (come nella ricerca di una causa prima o nell'argomento del terzo uomo di Aristotele).
Regressus ad infinitum: Significa "regresso verso l'infinito". Si usa spesso come sinonimo nel linguaggio comune e filosofico per descrivere un processo che continua a muoversi indefinitamente verso una meta irraggiungibile. In breve, la tradizione filosofica preferisce in infinitum, mentre ad infinitum è più generale e affine all'avverbio "all'infinito".
LA LUCE CREPUSCOLARE
Come possiamo notare, nell’ultima parte del testo interviene il narratore, estromette Eudoxian come io-narrante, e parla in prima persona, secondo la buona abitudine: “Ubi maior, minor cessat”, un brocardo latino che ritroveremo in un mio prossimo racconto, di cui ho abbozzato l’idea generale, disegnata sulla protagonista, comunque poi vedremo. E stando nel tema, come si vede, il narratore non è ibero come crede di decidere secondo il suo libero (?) arbitrio, ma viene attratto e coinvolto nella trama narrativa, che lui inventa (trova sul suo cammino, “invenio”, invento, letteralmente vengo-in, mi trovo innanzi). Nel nostro caso il “progressus in infinitum” è la correzione di un errore: “Ehi, nuovo narratore? Che vuoi? E se viene un altro narratore e ti soppianta, che cosa accade? Accade che anche l’altro possa essere soppiantato, e così via, siamo al regressus in infinitum.” Un progresso o un regresso? Un errare.
L’’errore, infatti, corrisponde all’errare in quella luce crepuscolare del sentiero dove errano i mortali – vedi “Il viandante notturno”.
LA GIRAFFA E LA NEVE
Nel riformulare la dottrina degli insiemi infiniti di Cantor, Russell espone i suoi concetti di classe, distinguendo la classe estensionale, dove vengono enumerati tutti i termini della classe, e la classe intensionale, quella che rappresenta i termini enumerati come un tutto definito. Un tutto essenziale, nell’ambito delle possibilità umane, è un tutto finito, e non è possibile enumerare più di un numero finito di parti di un tutto; e se il numero delle parti è infinito, questo deve risultare diversamente dall’enumerazione. E l’impossibilità si supera con il concetto di classe intensionale, per cui qualsiasi termine infinito apparterrà oppure no a quella classe, come quella dei “numeri reali tra 0 e 1” [l’infinito del paradosso di Zenone]. Essi formano una classe definita, ove si conosca che cosa s’intende per “numero reale”, per “0”, per “1”, per “tra”. I singoli elementi della classe e le classi minori in essa contenuti non devono considerarsi logicamente anteriori alla classe stessa, pertanto il regresso infinito perde il suo senso, perché ogni segmento di numeri reali o razionali ha le parti che sono a loro volta dei segmenti, a loro volta non anteriori alla classe, quindi compresi in essa. Così risolve Russell il primo argomento di Zenone. Ma non lo sapevamo anche noi? Non lo sapeva anche Eudoxian? Che motivo avevate di estrometterlo dalla cabina di regia della narrazione? La cabina di regia? Ma che dici?
Ritorniamo ad Aristotele: “Il secondo [paralogismo di Zenone] è il così detto “Achille”: questo intende provare che il più lento, correndo, non sarà mai sorpassato dal più veloce. Infatti, necessariamente, l’inseguitore dovrebbe giungere primo là, donde il fuggitivo è balzato in avanti; sicché necessariamente il più lento mantiene una certa precedenza. Questo ragionamento è appunto quello della dicotomia [il paralogismo precedente], ma ne differisce per il fatto che non divide in due anche la grandezza successivamente assunta. La conclusione di tale ragionamento è che il più lento non viene raggiunto; ma a questa conclusione si arriva, mediante lo stesso procedimento della dicotomia. Infatti, la conclusione di entrambi i ragionamenti è che non si può giungere al limite, in quanto la grandezza è divisa in un certo modo […], sicché necessariamente anche la soluzione sarà la medesima. Ma, in realtà, è falso ritenere che ciò che precede non venga raggiunto: infatti, solo fin quando precede, non viene raggiunto; ma tuttavia esso viene raggiunto, purché si ammetta che venga percorsa una distanza finita.” (Fisica, Z, 9, 239b, 15-30)
E quindi, prendendo il volo per Mombasa, siccome l’aereo (Achille) è più veloce della nave (tartaruga), raggiungiamo Silvia. E tu ci credi? Provare per credere.
Zenone di Elea era discepolo di Parmenide, il maestro che aveva affermato che l’Essere è Uno, Immobile, Eterno, un dogma. Il discepolo di Parmenide, il “prediletto”, doveva dimostrare che l’Uno immobile non ammetteva il movimento. Non esiste alcun movimento, perché ciò che si muove, prima di raggiungere la fine del percorso, deve raggiungere la metà del percorso. Ma prima di raggiungere la metà del percorso, deve raggiungere la metà della metà del percorso, e così via all’infinito, fino a quando non riuscirà a compiere, nell’infinito delle infinite metà, il minimo movimento sul percorso assegnato, e resterà fermo, quindi il movimento non esiste.
Anche il più veloce, Achille, nel percorrere una distanza infinita, restando fermo, non riuscirà a raggiungere la più lenta tartaruga. Infatti, in ipotesi, giungendo nel percorso infinito dove stava la tartaruga, non potrà raggiungerla, perché questa si sarà mossa in avanti all’infinito, anche se più lentamente. Stanno entrambi fermi, una avanti e l’altro indietro, e così per ogni altro possibile balzo in avanti, dove ovviamente in un percorso finito, come ragiona Aristotele, Achille raggiunge e supera la tartaruga.
I quattro paradossi di Zenone, Aristotele li definisce paralogismi, ragionamenti ovvero sillogismi errati, contenenti un termine non logicamente corretto. Diverso, invece, è il caso dei paradossi, ragionamenti formalmente corretti, ma di fatto ingannevoli: “Tutti i gatti sono mortali, Socrate è mortale, dunque Socrate è un gatto”. Tali sillogismi vanno contro (para) il senso comune (doxa), come ad es. quello che pensa Socrate un uomo e non un gatto, l’inganno è nel nome Socrate attribuibile anche a un gatto. Ecco perché, cogliendo la sottostante ironia, noi sorridiamo. Diverso è il caso delle antinomie, ragionamenti che si costituiscono come contraddizioni. Un cretese afferma che tutti i cretesi mentono (Epimenide): se dice il vero, dice il falso, se dice il falso, dice il vero. Torniamo ai paralogismi di Zenone, i primi due: il primo è il regressus in infinitum. Si tratta della divisione di un intero in parti infinite, che si risolve con la somma di tutti gli infinitesimi, seguendo le regole della c. d. algebra degli infiniti e degli infinitesimi. Tale pseudo-algebra estende le operazioni algebriche dei numeri reali al campo dei limiti, trattando l’infinito (∞) come un numero reale. Zenone deve difendere il dogma parmenideo dell’Essere Uno Immobile Eterno, quindi niente molteplicità, movimento, scorrere del tempo. Ed ecco il paradosso, aristotelicamente un paralogismo, sotto il profilo dell’impossibilità del movimento: prima di raggiungere un punto B da un punto A, bisogna percorrere la metà, poi la metà della metà e infinite metà, impossibili da percorrere perché infinite. È inutile mettersi a camminare, come fece Antistene il cinico. Se pure fosse stato il velocissimo Achille, che insegue una tartaruga, non l’avrebbe mai raggiunta. Hai capito Eudoxian? Scusa ma che c’entra Eudoxian? Infatti, non ci entra, era un “abusivo”, andava “oltre” “l’uso” del ruolo, era un personaggio del racconto, non il narratore.
Vogliamo risolvere il paradosso di Achille, matematicamente? Ecco il teorema.
A = Achille, T = Tartaruga. Distanza AT = 10.
Somma degli infinitesimi di 10 (S)
S = (10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 …)
Moltiplichiamo entrambi i termini dell’equazione per 10.
10S = 100 + (10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000…)
Sottraiamo tra loro i termini delle due equazioni.
10S = 100 + (10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000…)
S = (10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000…)
Risultato
9S = 100; S = 100/9 = 1,11
L’inseguimento ha avuto termine (1,11 oltre 10), Achille ha raggiunto la tartaruga, ma questo è un ragionamento matematico, in cui si compiono operazioni aritmetiche con gli infiniti, vale a dire con gli strumenti degli insiemi infiniti di Cantor, una dottrina dei numeri discutibile. E la dimostrazione per assurdo di Zenone confuta proprio la realtà dell’esperienza della passeggiatina di Antistene il cinico. E quindi?
Oh, guarda chi c’è? Eudoxian, che si aggira per la sala partenze voli internazionali, guardando i monitor con gli orari dei voli. E adesso? Guarda lo smartphone, è arrivato un messaggio, un video, si vede Silvia Napolitano tra i Masai del Kenya con un bambino di colore in braccio, poi altre inquadrature, sale su un autobus e partono. Dove vanno? In Tanzania. Una foto di gruppo, i turisti, tra loro Silvia, che sorride accanto al dottor Maurice Orunga sorridente, i denti bianchissimi, dietro di loro una giraffa, sullo sfondo una montagna con la cima imbiancata, il Kilimanjaro.
Eudoxian è tornato indietro, è uscito dall’aerostazione ed è ritornato nel parcheggio delle autovetture. Ha rinunciato a raggiungere Silvia, non crede alla matematica insiemistica di Cantor, ha ragione Zenone di Elea oppure ha capito… che cosa ha capito? Non so, dovremmo chiederlo a Eudoxian. Noi non ci entriamo. Come non ci entrate? Insomma, voi chi siete? Noi siamo il “mistico” che appare in questa storia senza far parte di questa storia. Eh? Come? Ne riparliamo, ciao, ci vediamo.
ISSO
Ehi, mistico! Chi è? Chi chiama? Sono io, il tuo Io. Che vuoi, Io? In primis non smentire la dicotomia di Zenone, che riguarda il sensibile, non noi, che siamo l’invisibile, l’idea. Nel “Parmenide”, Socrate parla delle Idee, per superare la dialettica di Zenone. Bene! Allora, noi spiriti invisibili che facciamo? Entriamo nel ruolo del “mistico”, che appare nel mondo (del racconto), senza fare parte del mondo. Eppure mi devi svelare chi è il mistico. Sto facendo una ricerca, poi ti faccio sapere. E adesso? Eudoxian.
Ah, sì! Eudoxian! che fine ha fatto? Si è dato agli studi sull’Achille di Russell. Ma Silvia è tornata dall’Africa con il suo dottor Maurice Orunga? Non ancora. Allora andiamo a spiare che cosa scrive Eudoxian. Scopiazza. Ma no! Elabora e trascrive. Vediamo.
“Prima di raggiungere la tartaruga, l’inseguitore dovrà giungere al luogo da cui la fuggitiva è partita. E questo argomento si po' tradurre nel linguaggio della pura aritmetica: “Consideriamo, ad esempio, 1 + 2x e 2 + x, con x tra 0 e 1, inclusi. Per ogni valore di 1 + 2x esiste uno e solo un valore di 2 + x, e viceversa. Ne deriva che mentre x aumenta da 0 a 1, il numero dei valori assunti da 1 + 2x sarà uguale al numero dei valori assunti da 2 + x. Ma 1 + 2x comincia da 1 e finisce a 3, mentre 2 + x comincia da 2 e finisce a 3. Perciò i valori di 2 + x dovrebbero essere la metà dei valori di 1 + 2x ”. (”Principia Mathematica”, 331) Infatti, mettendo in corrispondenza le due serie, si ha la dimostrazione, incrementando il valore da 0 a 1, per esempio in decimi.
x = 0,10 ; 1 + 2x = 1 + 0,2 ; 2 + x = 2,1;
x = 0,20 ; 1 + 2x = 1 + 0,4 ; 2 + x = 2,2;
x = 0,30 ; 1 + 2x = 1 + 0,6 ; 2 + x = 2,3;
x = 0,40 ; 1 + 2x = 1 + 0,8 ; 2 + x = 2,4;
x = 0,50 ; 1 + 2x = 1 + 1,0 ; 2 + x = 2,5;
x = 0,60 ; 1 + 2x = 1 + 1,2 ; 2 + x = 2,6;
x = 0,70 ; 1 + 2x = 1 + 1,4 ; 2 + x = 2,7;
x = 0,80 ; 1 + 2x = 1 + 1,6 ; 2 + x = 2,8;
x = 0,90 ; 1 + 2x = 1 + 1,8 ; 2 + x = 2,9;
x = 1,00 ; 1 + 2x = 1 + 2,0 ; 2 + x = 3,0.
Questa difficoltà “molto seria” può essere risolta con la matematica di Cantor, ma conclude Russell: “poiché essa appartiene alla filosofia dell’infinito piuttosto che a quella del continuo, ne rinvio la discussione al prossimo capitolo”. Quindi, Eudoxian prosegue il suo studio, andando a consultare le apposite pagine dei “Principia”.
Ma perché a consultare il capitolo seguente e ad esporne il contenuto deve essere Eudoxian e non noi? Per due motivi, legati l’uno all’altro: uno logico, nel senso di riconducibile alla Logica; un altro, perché tocca a Eudoxian consegnare la tesina a Giovanna Riccio e quindi al suo futuro sposo. Ricordi il selezionatore dell’Accademia di Geometria, anche se è stata un’illazione? No, dimmela: “Ma chi ha scritto queste cose?” Ah! È stato Eudoxian! Non ci sono dubbi. Sono d’accordo, amico.
Quindi, passiamo ad esaminare la filosofia dell’infinito… No, un momento!... il motivo di carattere logico… Ah, già! Hai ragione. Quando Eudoxian fa un’affermazione, e ogni sua “affermazione” (a) può essere assunta come termine di un’intera classe (A) di “affermazioni” (a’, a’’, a’’’, …) ossia un discorso, la verità autoreferenziale di A può essere dimostrata soltanto da una proposizione X al di fuori di A. E tu credi che X sia vera? No, X è un’incognita, qualcosa di mistico. Ah! Ho capito.
“Bisogna confessare che la possibilità che tutto e parte abbia lo stesso numero di termini contrasta con il senso comune. L’Achille di Zenone mostra ingegnosamente che anche il punto di vista opposto ha conseguenze assurde; e infatti se tutto e parte non potessero essere correlati termine a termine, ne seguirebbe che, se due punti materiali viaggiano lungo uno stesso sentiero, uno seguendo l’altro, quello che sta dietro non potrebbe mai raggiungere il primo; se lo può, dovremmo avere una corrispondenza univoca e reciproca (è la corrispondenza che connette le posizioni simultanee) di tutti i termini di un tutto con tutti i termini di una parte. Qui, il senso comune si trova quindi parecchio a mal partito: deve scegliere tra il paradosso di Zenone e il paradosso di Cantor.” (“Principia”, 340)
Russell discute il paradosso di Zenone, affiancandolo a un esempio, quello che propone di Tristram Shandy [“La vita e le opinioni di Tristram Shandy, gentiluomo (o Tristram Shandy) è un romanzo (1759-67) di Laurence Sterne], che impiegò due anni per scrivere due giorni della propria vita. Pertanto il materiale da scrivere si sarebbe accumulato rapidamente, senza dare il tempo all’autore di scriverlo. Russell propone di immaginare che la vita di Tristram Shandy scorra all’infinito, in modo da consentirgli di arrivare a non dover scrivere più nulla. Come ben vedi, Eudoxian, … io non sono Eudoxian… lo so, mi riferivo a un Eudoxian immaginario… Ah, sì? Non a quello vero? No, non all’Eudoxian finto (raffigurato) della storia in narrativa, e in tale ambito vero, ma ad uno come te, uno qualsiasi, hai capito? No. Andiamo avanti.
IL TEMPO E L’ISTANTE
“Zenone cade in un paralogismo, quando dice: se sempre ogni cosa è in quiete [o in moto], quando sia in un luogo uguale ad essa, e se l’oggetto è sempre in un istante, la freccia nell’istante in cui è spostata, è immobile. Questo è falso, perché il tempo non risulta composto da istanti indivisibili, e così neppure ogni altra grandezza.” Così Aristotele (“Fisica”, Z, 9, 5-10, 239 b) Si tratta del terzo paradosso: “La freccia nell’atto in cui è spostata, sta ferma. Ma questa conclusione si ottiene solo se si considera il tempo come composto da istanti; se questo non si ammette, non ci sarà sillogismo.”
Che cosa è il tempo? Qualcosa che scorre? L’immagine “mobile” dell’eternità, come diceva Platone? Per Aristotele, il tempo è legato al movimento, senza essere però il movimento, soprattutto non è una successione di istanti indivisibili, ma un continuo.
“È, quindi, evidente che il tempo non è movimento, ma non è senza movimento; e d’altra parte, poiché cerchiamo che cosa è il tempo, dobbiamo prendere inizio da qui per stabilire quale proprietà del movimento esso sia. […] Poiché il mosso si muove da un punto verso un altro punto, e ogni grandezza è continua, il movimento segue alla grandezza. Infatti, poiché la grandezza è continua, è continuo anche il movimento; e per il fatto che lo è il movimento, è continuo anche il tempo, giacché la quantità del tempo trascorso è proporzionata a quella del movimento.[…] E poiché nella grandezza ci sono il prima e il poi, è necessario che anche nel movimento ci siano il prima e il poi, e che siano in proporzione con il prima e il poi che sono nella grandezza. Ma anche nel tempo ci sono un prima e un poi, per il fatto che sempre il tempo segue al movimento […] Pertanto, quando noi percepiamo l’istante come unità e non già come un prima e un poi nel movimento e neppure come quell’identità che sia la fine del prima e il principio del poi, allora non ci sembra che alcun tempo abbia subito il suo corso, in quanto che non vi è neppure movimento. Quando invece percepiamo il prima e il poi, allora diciamo che il tempo c’è. Questo è in realtà il tempo: il numero del movimento secondo il prima e il poi.” (Fisica, Δ, 11, 219a) E subito dopo, Aristotele spiega che cosa intende, in questo caso, per numero: “Ma poiché si dice numero in due modi (perché noi chiamiamo numero non solo il numerato e il numerabile, ma anche il mezzo per cui numeriamo), il tempo è il numerato, e non il mezzo per cui numeriamo.” Quindi più avanti chiarisce la relazione tra l’istante e il tempo, mediante un’equiparazione: “Come si disse, alla grandezza segue il movimento, e a questo, aggiungiamo ora, segue il tempo.” Ma che cosa intende Aristotele per grandezza?
Si riferisce a quello che s’intende comunemente per grandezza fisica misurabile, un concetto riferibile alla grandezza matematica e geometrica. È un concetto ricavabile dalla geometria euclidea, peraltro messo in discussione da Einstein, nella formulazione della sua teoria della relatività ristretta. “Si chiama grandezza ciò che è divisibile in parti continue. Fra le grandezze, quella continua in un’unica dimensione è lunghezza, quella continua in due dimensioni è larghezza e quella continua in tre dimensioni è profondità.” (Aristotele, Metafisica, V, 1020a, 13, 10-15)
In questo senso, si può comprendere che cosa significa l’espressione che alla grandezza segue il movimento, ovvero spostando un oggetto nello spazio, si può osservare il movimento. Aristotele estende una tale osservazione empirica al concetto di tempo: “L’oggetto è diverso perché ora è qui, ora lì; però all’oggetto spostato segue l’istante, come il tempo al movimento, giacché l’oggetto spostato ci permette di riconoscere il prima e il poi nel movimento; e noi riconosciamo la presenza dell’istante dal fatto che il prima e il poi sono numerabili.” (Fisica, Δ, 11, 219b 20-25) . Quello che Aristotele cerca di definire, in questo passo, è l’istante, come si ricava dal ragionamento immediatamente precedente: “E come il movimento è sempre diverso, così anche il tempo. Ma il tempo, assunto nella sua totalità, è lo stesso, perché l’istante è lo stesso di quello di una volta, benché la sua essenza è diversa; e l’istante misura il tempo, determinandolo in un “prima” e in un “poi”. L’istante, invece [al contrario del tempo], è in parte identico, in parte non identico. In quanto è sempre in un diverso, esso è un diverso (così, infatti, determinammo l’istante in sé); ma in quanto l’istante è ciò che una sola volta è, esso è identico.”
Per Platone, l’istante (exaiphnes) è quell’ente metafisico, di cui Aristotele cerca di dimostrare l’esistenza fisica, quando ribadisce la sua definizione: “Sicché anche sotto questo profilo [movimento], l’istante, una volta che se ne ammetta l’esistenza, è lo stesso, essendo infatti il “prima” e il “poi” che sono nel movimento, ma nella sua essenza, esso è diverso, perché l’istante esiste solo in quanto il prima e il poi sono numerabili.” Vi è una stretta correlazione tra istante e tempo: “È ovvio che, se il tempo non fosse, l’istante non sarebbe, e se non fosse l’istante non sarebbe nemmeno il tempo. […] Dunque il tempo è un continuo a causa dell’istante, ma è anche distinto secondo l’istante, perché anche sotto questo profilo [del prima e del poi] esso si adegua allo spostamento e all’oggetto spostato.” (Fisica, Δ, 11, 220a 1-10)
A questo punto, non si può fare a meno di tracciare un parallelo geometrico con la linea e il punto, inteso quest’ultimo come un “limite”, ed è quello che fa Aristotele: “Infatti, il movimento e lo spostamento conservano la propria unità in virtù dell’unità dell’oggetto spostato. […] Anzi, proprio questo determina il movimento anteriore e posteriore e corrisponde, in un certo senso, al punto. Infatti, il punto rende continua la lunghezza e la delimita, perché esso è il principio di una cosa e la fine di un’altra.” Considerando la linea L come una lunghezza fra i punti p’ e p’’, il punto risulta il “limite” (p) della linea (L). Così può concludere Aristotele: “Dunque, in quanto l’istante è un limite, esso non è un tempo, ma un accidente di questo. […] “Dunque, che il tempo è numero di un movimento, secondo il “prima” e il “poi”, e che è continuo, in quanto è proprietà di un continuo, è ormai chiaro.” (Fisica, ivi, 20-25)
Eudoxian leggeva e rileggeva questa breve sintesi del pensiero aristotelico, che lui stesso aveva a suo tempo tracciato, cercando di capire che cosa avesse scritto, voleva capire meglio il pensiero di Aristotele sull’argomento del tempo e dell’istante. In quel mentre, cominciò a dubitare di quanto fino ad allora aveva creduto o si era voluto illudere di credere. Il suo elaborato sui paradossi di Zenone non era forse mai stato esibito dal genero di Silvia Napolitano, per l’ammissione all’Accademia Teetina di Geometria, e un tal pensiero, in un certo senso, sembrò sollevarlo. E forse Consalvi non era affatto il fondatore dell’Accademia, volato nello spazio, e chissà dove era arrivato ora? Ma non era fermo ed immobile, dal momento che il movimento non esiste? E quindi tutta la storia dei clandestini dello spazio era una montatura giornalistica. Eudoxian ma che stai pensando? Disse Eudoxian a sé stesso. Ecco la dicotomia! Se io sono uno come faccio a essere due? Se io sono il soggetto, ovvero un io, in simbolo logico (E), come faccio ad essere un me stesso (E’)? Era un grave problema filosofico ed Eudoxian non lo sapeva, anzi no, ne aveva avuto sentore e aveva acquistato anche un manuale di filosofia in proposito, ma non aveva avuto ancora il tempo di leggerlo. È chiaro! Ti metti a correre dietro a Silvia Napolitano, invece di studiare filosofia. Io? Eudoxian si sentiva sotto accusa. Ma dov’era questo Tribunale, che forse aveva già emesso una sentenza di condanna, e che lui non aveva mai visto? La vicenda cominciava ad assumere toni kafkiani. Poi si rassicurò. Non si era dato allo studio della Logica (Aristotele) matematica (Russell)? Ed ora si trovava impantanato con i quattro paradossi di Zenone. Si scosse, sentì un grido: “Muòvati!” Si sentì come un clandestino sorpreso a viaggiare senza biglietto, e ora invitato a scendere di gran corsa, peraltro da un treno in corsa! Era paralizzato, per venirne fuori, l’unica era muoversi, sebbene il movimento non esiste, di questo cominciava a convincersi, altre letture del pensiero di moderni scienziati orientavano il suo giudizio in questo senso. È pur vero che leggere il pensiero non significa leggere nel pensiero, ma come si fa a leggere nel pensiero, se non si legge prima il pensiero? Eudoxian! Eh? Muòvati! Ma è un’ossessione questa storia del muoversi! E allora Eudoxian tutto decise. Che cosa? Realizzare un desiderio possibile (sì, possibile). Come Einstein voleva cavalcare l’onda di luce, così Eudoxian voleva cavalcare la freccia in volo, anche se non c’era paragone… tra chi? Tra l’onda di luce e la freccia. Ah, certo!
LA FRECCIA ROSSA
Era arrivato alla stazione Termini abbastanza in anticipo, perché l’ultima volta aveva fatto una corsa ed era arrivato quando avevano già chiuso le porte del treno, e non ostante avesse fatto segno ad un uomo in divisa da ferroviere, l’incantesimo di “Apriti Sesamo” non era riuscito. Nell’occasione, quello che aveva colpito Eudoxian, non era stato tanto l’impassibilità del ferroviere al suo gesto, quanto il fatto che il treno era rimasto fermo senza partire. Sì? Certo, e qui bisogna precisare, abbiate pazienza, ma c’è sempre questo Zenone di mezzo, come dire? Non so dire, bisognerebbe ricorrere a qualche espediente (ex pede, fuori dai piedi), per venir fuori da questa impasse, che intralcia i nostri movimenti, ecco! In verità, non si tratta di Zenone, ma di Aristotele, anche se in un certo senso la causa indiretta è Zenone. Il gran maestro del pensiero e delle leggi del pensiero, la Logica, che Eudoxian sta studiando, nel confutare il terzo paralogismo di Zenone, il gran dialettico, quello del morso all’orecchio di Nearco (e anche qui c’è da commentare, come vedremo: “Ma che scelleratezza!”), afferma che “il tempo non risulta composto da istanti indivisibili”. E allora uno si chiede: “Ma che cos’è il tempo?” E noi non è che siamo tutti come dice Sant’Agostino: “Tutti sappiamo che cosa sia il tempo finché non ce lo domandiamo.” E come siete? “Noi non sappiamo che cosa sia il tempo e quindi non ce lo domandiamo neppure.” Ma siete degli ignoranti! E ve la ridete pure della vostra ignoranza! Ma perché voi… Eudoxian? Eh? Basta con questi siparietti! E allora? “L’esistenza del tempo non è neppure possibile senza quella del cangiamento; quando, infatti, noi non mutiamo nulla entro il nostro animo o non avvertiamo di mutar nulla, ci pare che il tempo non sia trascorso affatto: la stessa impressione proverebbero quegli uomini addormentati in Sardegna, secondo la leggenda, accanto agli eroi, qualora si destassero.” Nella nota del testo, consultato da Eudoxian, c’era scritto: “La leggenda è discussa dal Rhode etc.” Poi la nota conclude: “Trattasi di qualcosa di analogo al sonno di Alessandro, Carlo Magno e Barbarossa.” Nella nota non c’era scritto “e di Eudoxian”, in quanto gli estensori sono persone serie. In che senso? Che cosa è questa storia di Eudoxian? Quale? Quella del cannonau, del mirto, o del filo di ferro? Tutte e tre. È una leggenda, anche se non compare nella nota, anche se, a dire il vero, in ogni leggenda c’è un fondo di verità. Una storia di uomini ebbri, dunque? Ebbri di potere e di gloria. Bene! Adesso arriviamo al nocciolo del discorso aristotelico, dopo avere spolpato bene la scorza. “Essi, infatti, accosterebbero l’istante in cui si assopirono con l’istante in cui si sono destati e ne farebbero una cosa sola, togliendo via, a causa della loro insensibilità, tutto ciò che è intercorso.” (Fisica, Δ, 11, 218b 21-27)
Ed era proprio quello che, ad onta di ogni inverosimiglianza, era accaduto all’eroe del nostro tempo, Eudoxian. Era fermo, sulla banchina, di fronte alle porte chiuse della “Freccia rossa” Roma-Milano, e il treno restava lì immobile senza partire. E quindi? Eudoxian rientrò nell’atrio e andò allo sportello a cambiare il biglietto per la corsa seguente, un’ora dopo. La corsa? Bisogna sperimentare se la freccia si spostasse o restasse ferma durante il movimento, il presunto movimento. Intanto, ottenne una prima spiegazione insufficiente perché la freccia stava ferma. I ferrovieri, interpellati, gli avevano riferito che quello della chiusura delle porte della “freccia rossa” era un dispositivo automatico di sicurezza, una volta chiuse, le porte non si potevano aprire, fino a quando il treno non si fosse mosso. In modo che le persone potessero scendere (o salire) soltanto quando il treno era in corsa. Ovviamente, Eudoxian non fece questo tipo di obiezione, perché eccessivamente logica, lo sapevano anche i ferrovieri. Ma essi, caro Eudoxian, sapevano quello che tu non sapevi, caro il mio ignorante, quando domandasti: “Ma la partenza non deve essere simultanea?” Che cosa pretendeva questo viaggiatore? La simultaneità della partenza con la chiusura automatica delle porte del treno superveloce, necessaria per rispettare la puntualità (i punti estremi p’ p’’ della linea L del tempo) dell’orario di partenza e di arrivo, diamine! uno paga il biglietto, un surplus. Il treno parte subito dopo. Subito o dopo? Ma come è ignorante costui! Non sa quello che tutti i ferrovieri d’Italia e del mondo sanno, ovvero che la simultaneità del tempo non esiste. Ma questo non conosce neppure Einstein! Ma che razza di viaggiatore! È da oltre un secolo che si parla di relatività ristretta, per l’esattezza dal 1905 (il tempo è un numero), i ferrovieri è gente precisa, e non mi state a correggere dicendo: “I ferrovieri sono gente precisa”. So anch’io che precidono il tempo, (precidere, pre-caedĕre, tagliare) lo dividono in due, all’istante, nel prima di partire (dividere) e nel dopo essere partiti (divisi), come dire in 0 < 1, danno origine alla serie 0,1/2, 1/4, 1/8 e così via all’infinito, come insegna Zenone. Il movimento è impossibile, e questo Eudoxian lo stava sperimentando, è il caso di dire, all’istante.
Ecco perché, quando finalmente seduto al suo posto, nello scompartimento accanto al finestrino, nell’immobilità assoluta, sentì un fischio e vide la banchina della stazione allontanarsi progressivamente, ebbe un colpo, in verità sentì un contraccolpo. Come dice quello scrittore di guerra (E.M. Remarque, “Tempo di vivere, tempo di morire”): “L’artigliere tirò una correggia, il treno partì.” Si tratta della Prima guerra mondiale, quando nella locomotiva motrice dei treni a vapore, bisognava tirare una correggia, per trasmettere il moto a una biella, elemento meccanico di collegamento tra altri due membri cinematici di un meccanismo, dotato di moto rotatorio e traslatorio. In tal modo le truppe a bordo dei treni, partivano per il fronte, dove non sarebbero mai dovute arrivare, e non solo secondo Zenone. Ma per dove partiva Eudoxian?
Non partiva, restava immobile sulla freccia rossa, mostrando sperimentalmente come Parmenide, Zenone, Aristotele e last but not least Einstein avessero tutti ragione. Ma non bisogna affermarlo soltanto, bisogna dimostrarlo, in consonanza con la sesta proposizione del “Tractatus logico-philosophicus” di Wittgenstein: “La forma generale della funzione di verità è: [p, ξ, N (ξ)].” “Ed ecco la spiegazione, decodificando i simboli: p = tutte le proposizioni atomiche; ξ = qualsiasi insieme di proposizioni; N (ξ) = negazione di tutte le proposizioni di ξ. L’intero simbolo [p, ξ, N (ξ)] significa tutto ciò che può essere ottenuto, facendo poi una qualsiasi scelta dall’insieme di proposizioni ora ottenuto, insieme con alcune delle proposizioni originarie – e così via, indefinitamente.” (Bertrand Russell, Introduzione al “Tractatus”).
Ma non è serio! Che cosa? Mettere insieme i filosofi greci antichi, il fisico della relatività che ha rivoluzionato il concetto fisico dello spazio-tempo, con il filosofo del linguaggio? No, non questo. E che cosa allora? Eudoxian. E che c’entra Eudoxian? È quello che dico anch’io. Comunque, il personaggio Eudoxian non è un oggetto (cosa), anche se la filosofia analitica lo tratta come tale. Anche la filosofia tradizionale, c.d. continentale, in verità. Che cosa? La “cosa”, dal latino “causa”, argomento, nell’aristotelismo il soggetto (subjectus), il sottostante ypokèimenon) del discorso. Togliamo di mezzo Eudoxian, e parliamo noi. Ma così cancelliamo la scena del mondo (del racconto). Eh, no! Chiudiamo il sipario, facciamo il nostro discorsetto, lo sproloquio del capocomico del varietà, e poi lasciamo di nuovo la scena ai nostri personaggi, il nostro personaggio, Eudoxian. E Silvia Napolitano? Ma tu ci hai una fissa! E tu no? No. Beato te, beato spirito. Tu, tu hai dimenticato Orunga. E tu no!
Allora, non lo state a sentire, separiamo da una parte Parmenide e Zenone, dall’altra Aristotele, seguito da Einstein, in verità più parmenideo che aristotelico, e Russell, stralciamo Wittgenstein, e procediamo nell’esame del terzo paralogismo di Zenone, in concreto attraverso il racconto dell’avventura in treno di Eudoxian.
Si era addormentato, si svegliò alla stazione centrale di Milano, non aveva avvertito il mutar di nulla, il tempo non era trascorso affatto, da un istante all’altro, era lo stesso istante, la freccia rossa non si era mossa. “Essi, infatti, accosterebbero l’istante in cui si assopirono con l’istante in cui si sono destati e ne farebbero una cosa sola, togliendo via, a causa della loro insensibilità, tutto ciò che è intercorso.” Anche il sogno? Quale sogno? Sempre la storia di Silvia Napoletano. Ne riparliamo, non possiamo sempre correre dietro a questa signora, di cui Eudoxian possiamo immaginare si sia invaghito. E perché? Non lo so. Che cosa non sai? Perché Eudoxian si sia invaghito… Ma che hai capito? Siamo noi che non possiamo sempre correre… E perché? Il movimento non esiste. Tu sei come Wittgenstein. In che senso, scusa? Neghi la realtà empirica, sei troppo logico matematico. Ma, ricordi? abbiamo stralciato la sua posizione. E allora parliamo di Einstein. Sì, è meglio, anche se è proprio quest’ultimo che ci farà aprire una parentesi sulla prima proposizione del Tractatus di Wittgenstein.
L’OROLOGIO DEL SOLE
“Nella presente edizione, ho aggiunto un’esposizione delle mie opinioni sul problema dello spazio in generale e sulla graduale modificazione delle nostre idee intorno allo spazio, dovuta all’influenza del punto di vista relativistico. Desideravo mostrare che lo spaziotempo non è di necessità qualcosa a cui si possa attribuire un’esistenza separata, indipendentemente dagli oggetti effettivi della realtà fisica. Gli oggetti fisici non sono nello spazio, bensì specialmente estesi. In tal modo, il concetto di “spazio vuoto” perde il suo significato.” Così Albert Einstein nella Nota alla 15esima edizione inglese di “Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie.” “Sulla teoria della relatività speciale e generale.” (1952)
Che cosa significa questo? Rispondiamo con Wittgenstein: “Il mondo è tutto ciò che accade.” È La prima delle sette proposizioni principali del “Tractatus”, e va messa in correlazione con l’ultima: “Su quello di cui non si può parlare, si deve tacere.” Quest’ultima è la più citata, come massima, (ma è una proposizione logica) e ad essa in genere si attribuisce un significato mistico, a cominciare da Russell, che ne accenna nella sua Introduzione al libro. “Quello di cui non si può parlare”, perché manca il linguaggio per dirlo è la metafisica, quello che sta oltre al mondo fisico, di cui quindi è opportuno tacere. Quello di cui si può invece parlare è il mondo fisico, di cui il linguaggio è l’immagine logica. Il mondo fisico è l’Universo, che negli anni Venti del ‘900, in cui veniva scritto il “Tractatus”, era quello della relatività speciale (1905) e della relatività generale (1915) di Einstein. L’Universo di Einstein è quello degli eventi singoli dello spaziotempo, “gli oggetti fisici specialmente estesi”, “tutto quello che accade” di Wittgenstein, di cui si ha immagine logica, quello che si pensa.
Dobbiamo però stralciare anche Einstein dal nostro discorso, non siamo all’altezza di affrontare seriamente nessuna dottrina scientifica, forse Eudoxian, ma già la stiamo buttando sul farsesco o quanto meno sul semiserio. In fondo, però, la teoria della relatività non è difficile, Russell ne ha scritto un libro, e allora accosteremo alcune riflessioni generali sulla relatività di Einstein a quelle sul tempo di Aristotele e anche all’immobilità dell’Essere parmenideo, difesa dalla dialettica di Zenone.
Intanto, cominciamo con un souvenir di Einstein, un suo sogno fanciullesco, che sembra ricalcare, in certo modo, il paradosso della freccia di Zenone. Nella sua “Autobiografia scientifica”, come racconta, l’adolescente Albert si era immaginato a cavallo di un raggio di luce, e in tal modo la luce gli appariva ferma. Quello che aveva colpito sempre la sua immaginazione era stata la teoria di Maxwell sulla proprietà della luce, la cui velocità si mantiene sempre costante. Come era possibile conciliare un tale principio con l’universo newtoniano, in cui era sempre possibile raggiungere un oggetto in accelerazione? Inseguendo un raggio di luce, ad un osservatore esterno, l’inseguitore appare avere raggiunto la luce, mentre l’inseguitore la vedrà sempre davanti a sé. (In paradosso, superando la velocità della luce, si viaggia nell’oscurità).
Quando dal tram che si allontanava dal centro di Berna, Einstein guardava l’orologio della torre, oggi diventato un’attrazione turistica, egli pensava che andava segnando progressivamente un tempo più lento di quello tenuto al polso. E immaginava che se il tram fosse schizzato via alla velocità della luce, le lancette dell’orologio della torre gli sarebbero apparse ferme, perché la luce non poteva più raggiungere il tram. Nell’universo il tempo scorre a velocità diverse. Quando, a una certa ora del giorno, dove noi siamo, lo gnomone segna il minimo d’ombra, sappiamo che sono le dodici esatte, mezzogiorno. In quel momento, sulla nostra verticale, l’orologio del sole segna invece le dodici e otto minuti. Inseguendo un raggio di luce, con l’aumentare della nostra velocità, il tempo rallenta, fino a fermarsi, una volta raggiunta la velocità della luce. È l’uno immobile parmenideo di Zenone, la totalità del tempo aristotelico: “E come il movimento è sempre diverso, così anche il tempo. Ma il tempo, assunto nella sua totalità, è lo stesso.” (Fisica, Δ, 11, 219b9-10)
E il tempo di Eudoxian? Era brutto tempo, a Milano pioveva, le cinque del pomeriggio, corse alla stazione centrale e salì sul treno in partenza per Roma, che poco dopo partì. Era la freccia rossa? Non lo so, non ho controllato.
LA DISGIUNZIONE
Quando Russell enuncia il paradosso della freccia, lo stesso testo aristotelico della “Fisica”, ammette la giustezza dell’osservazione di Zenone, e rinvia alla teoria del mutamento statico, che tratta nell’apposita sezione dedicata al moto. Quindi, si appresta a risolvere il problema dal punto di vista logico matematico e osserva: “Si tratta di un luogo comune molto importante: “Ogni possibile valore di una variante è una costante”. Se x è una variabile che può assumere tutti i valori da 0 a 1, tutti i valori che essa può assumere sono numeri definiti, per es. 1/2 oppure 1/3 che sono tutte costanti assolute.” Ancora una volta egli fa riferimento al concetto di classe, che è uno dei concetti alla base di tutto l’impianto dei “Principia Mathematica”, dove pochi assiomi e regole di inferenza, come osserva Gödel, sono sufficienti a decidere tutte le questioni matematiche suscettibili di essere formalizzate nel relativo sistema. In particolare, deve essere preso in considerazione l’assioma dell’infinito, nella forma che esistono molti insiemi confrontabili in maniera biunivoca con l’insieme dei numeri interi: si tratta degli insiemi infiniti di Cantor, che Russell definisce classi.
Anche in questo caso, il riferimento è alla classe: “Una variabile è un concetto fondamentale della logica, come pure della vita quotidiana. Anche se è sempre in rapporto con qualche classe, essa non è una classe, e neppure un elemento della classe, e neppure l’intera classe, ma “qualunque” elemento della classe. […] Per es., il solito x dell’algebra non sta al posto di un numero particolare, e neppure di tutti i numeri, e nemmeno della classe numero.” (“Principia”, 332)
Russell fa l’esempio della formula: (x + 1)2 = x2 + 2x + 1. Il significato di una tale formula non dipende dalla sostituzione di un numero al posto di x, ad es. 391, [noi l’avremmo fatta con un altro numero, N. d. E.], anche se implica che il risultato di una tale sostituzione è una proposizione vera. E neppure potrebbe avere significato, se la sostituzione avvenisse con una classe-numero, o il concetto di numero qualunque, entrambi non suscettibili di essere sommati a +1. “L’identità in esame denota la disgiunzione formata dai vari numeri, o almeno si può assumere tale interpretazione come quasi corretta. I valori di x sono allora i termini della disgiunzione; e ognuno di questi è una costante. Questo semplice fatto logico sembra costituire l’essenza dell’affermazione di Zenone che la freccia è sempre ferma.”
Eudoxian chiuse il libro e guardò fuori dal finestrino, imbruniva. Mentalmente calcolò il valore dell’equazione portata a esempio da Russell, con i valori 1 e 2 e 3 al posto di x. Il risultato: 4 = 4; 9 = 9 ; 16 = 16. La disgiuntiva, proposizione logica con termini che si escludono a vicenda, o 1 o 2 o 3 e così via, ognuno una costante, “una costante è qualcosa di definito in modo assoluto, nei cui riguardi non esiste ambiguità alcuna. Quindi 1, 2, 3… sono costanti.” (“Principia Mathematica”, 6).
Un segnale sul tablet l’avvertì dell’arrivo di un messaggio, era un video: apparve il dottor Orunga con il camice verde e la mascherina chirurgica, che stava curando dei bambini in un ospedale africano, poi apparve Silvia Napolitano, con la mascherina, quindi cominciò a scorrere la dicitura nel margine inferiore, con il numero di conto corrente, dove fare le donazioni. Eudoxian richiuse il tablet. Come donazioni aveva già versato x + 99 = 100; x = 100 – 99 = 1. Un euro, che vergogna! Ma quando mai! 1 sta per “una donazione”. Ah! E l’ammontare? Cento euro. Come dire, 1 = 100? Esatto! Sì, ma a me non sembra tanto esatto, e ti dirò nemmeno tanto vero. Tu non capisci niente, devi studiare il teorema di incompletezza di Gödel. E tu l’analisi matematica.
Adottando il calcolo infinitesimale, secondo cui i singoli istanti di tempo non sono nulli, ma infinitamente piccoli, si risolve il terzo paradosso di Zenone. In istanti infinitamente piccoli, infinitesimi di tempo, la freccia percorre tratti infinitamente piccoli, spazi infinitesimi, compiendo il suo moto di traslazione. Elementare, no? Ma chi si è inventato questo calcolo infinitesimale? Eudosso di Cnido (IV sec. a. C.). Chi? Eudoxian rimase non solo colpito, (immobilità), ma inquieto (movimento). Possiamo dire che era stato trafitto dalla freccia. Si sentì esausto, come esaurito in un processo di esaustione, quello teso ad ottenere la quadratura del circolo. Chiuse gli occhi.
UN LUOGO TRA LE OMBRE
Eudoxian continuava a combattere contro il terzo paradosso di Zenone, un mulino a vento? Non proprio. Un’equazione? La matematica di Russell: (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1. Che c’entrava quella formula algebrica? Bisognava accordare un valore alla x.
“Ma l’argomento di Zenone contiene un elemento che risulta in modo particolare applicabile ai continui. Nel caso del moto, esso nega che esista lo stato di moto. Nel caso generale di un continuo variabile, è possibile interpretarlo come la negazione degli infinitesimi attuali. Infatti gli infinitesimi rappresentano un tentativo di estendere ai valori di una variabile la variabilità che appartiene soltanto ad essi. Una volta compreso bene questo, che tutti i valori di una variabile sono costanti, diventa facile vedere, prendendo due qualunque di tali valori, che la loro differenza è sempre finita e che perciò non esistono differenze infinitesimali. Se x è una variabile che può assumere tutti i valori reali da 0 a 1, prendendo due di tali valori, vediamo che la loro differenza è finita, benché x sia una variabile continua. È vero che la differenza avrebbe potuto risultare minore di quella che abbiamo scelto; ma se lo fosse stata, sarebbe stata ugualmente finita. Il limite inferiore delle possibili differenze è zero, ma tutte le differenze possibili sono finite, e in questo non vi è ombra di contraddizione. Questa teoria statica della variabile è dovuta ai matematici, e il fatto che essa non fosse ancora nota al tempo di Zenone, gli fece supporre che fosse impossibile il mutamento continuo, senza uno stato di mutamento, che implica gli infinitesimali e la contraddizione di un corpo che si trova dove non è.” (Principia Mathematica, 333)
In definitiva, il modello matematico degli infinitesimali, sconosciuto a Zenone, non gli faceva vedere la freccia dove la freccia non si trovava, o faceva finta di non vedere, pensò Eudoxian, visto che l’allievo di Parmenide poteva essere a conoscenza della dottrina di Eudosso di Cnido. E come? Il matematico era posteriore al dialettico? Allungando lo sguardo sul futuro, ed a pensarla così non è E, ma B, per chi ha imparato a conoscere la simbolica di questo Blog. Sì, ma E = B. Eh, no! Bisogna dimostrarlo. Subito: E= C, B = C, quindi E = B. Che cosa significa C ? C sta per clown. C = E = B non è però una proposizione, non si può dire né vera né falsa, non significa niente. Come? “Con la parola “proposizione” vogliamo innanzitutto significare una forma di parole che esprime ciò che è vero o falso.” Così Russell, in “Introduzione alla filosofia matematica”, quando espone il suo pensiero sulle “funzioni proposizionali”. Quindi non esclude simboli differenti da quelli verbali o pensieri che abbiano carattere simbolico. La formula [C = E = B] non è una proposizione, se non vengono attribuiti dei valori ai simboli E, B, C, come, e facciamo l’esempio di Russell, l’equazione (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 non è una proposizione, se non si attribuiscono tutti i valori possibili o almeno determinati ad a e b. Altrimenti, si tratta di una “funzione proposizionale”, i.e. un’espressione che contiene uno o più costituenti indeterminati, tali che se si assegnano dei valori a questi costituenti, l’espressione diventa una proposizione.
Tu dici che è così? Non io, Russell. Allora E sono io, Eudoxian, B è il Blogger, C è il clown, la maschera tipica del clown. Qui, a quanto pare, Eudoxian veste i panni del narratore. E certo! Altrimenti come fa a identificarsi con il Blogger? Non si identifica e riprende i suoi panni di personaggio, tra un po' vedremo come Russell risolve il problema tra autore e fantasma letterario sua creatura. Ah! staremo a vedere.
Ad ogni buon conto, stabiliti i valori di E, C, B, la formula [C = E = B] è una proposizione. L’avevo detto io! Stai zitto. La proposizione può essere vera o falsa, [C = E = B] è falsa. E questo chi lo dice? Stai zitto! Io protesto. È un tuo diritto. E allora come la mettiamo? La mettiamo in questo modo: “È soltanto ciò che chiamiamo il “concetto” che entra effettivamente nelle proposizioni.” E quindi? “Nel caso dell’unicorno, ad esempio, c’è solo il concetto; non c’è, anche in qualche luogo tra le ombre, un oggetto irreale che possa essere chiamato unicorno.” Tu hai mai incontrato un unicorno? No, ma posso dire di averlo incontrato, e questa mia affermazione “Ho incontrato un unicorno” è una proposizione. Sì, falsa. E perché? Adesso stai a sentire e non m’interrompere, fino a quando non ho finito. D’altronde è Russell (non in persona), ma attraverso me, che parla. “Dato che ha un significato, anche se falso, dire “ho incontrato un unicorno”, è chiaro che questa proposizione, correttamente analizzata, non contiene un “unicorno” come componente, pur contenendo il concetto di unicorno. Il problema dell’irrealtà, che affrontiamo a questo punto, è molto importante. Ingannati dalla grammatica, la grande maggioranza dei logici che si sono occupati di questo problema ne hanno discusso su un piano sbagliato. Hanno guardato alla forma grammaticale come a una guida più sicura di quello che è in realtà. E non hanno notato le differenze che nelle forme grammaticali sono veramente importanti. […] Non possedendo l’apparato delle funzioni proposizionali, molti logici sono giunti alla conclusione che esistono oggetti irreali. Ad es. Meinong [“Untersuchungen zur Gegenstandstheorie und Psychologie”, 1904. “Studi sulla teoria degli oggetti e sulla psicologia”] ha arguito che possiamo parlare della “montagna d’oro” e del “quadrato rotondo” e così via; noi possiamo costruire proposizioni vere, di cui queste cose sono i soggetti; ciò comporta che esse abbiano un tipo di esistenza logica, perché altrimenti le proposizioni, in cui sono contenute, non avrebbero significato alcuno. Ma in queste teorie, mi sembra, manca quel senso della realtà che bisognerebbe mantenere anche negli studi più astratti. La logica, io sostengo, non deve ammettere gli unicorni più della zoologia; infatti, la logica tratta del mondo reale, come la zoologia, anche se in termini più astratti e generali. Dire che gli unicorni hanno una loro esistenza in araldica, o in letteratura, o nell’immaginazione, è una scappatoia pietosa. Quello che esiste nell’araldica non è un animale fatto di carne e sangue, che si muove e respira di sua iniziativa. Quello che esiste è una figura o rappresentazione a parole.”
E quindi io sarei una rappresentazione di parole? Tu chi? Eudoxian, ho anche un nome come vedi, e una mia vita, un mio dramma, come fai a dire che sono una “figura o rappresentazione di parole?” Non lo dico io, ma lo dice Russell. Quello! Te lo raccomando. Ma stai zitto, imbelle. Ehi! Non cominciamo a offendere.
“Analogamente dire che Amleto esiste nel suo mondo, cioè nel mondo della immaginazione di Shakespeare, proprio come Napoleone esisteva nel mondo reale, è dire qualcosa che deliberatamente confonde, o che è tanto confuso da essere incredibile. Esiste un solo mondo, il mondo “reale”: l’immaginazione di Shakespeare è parte di esso e i pensieri che aveva scrivendo l’Amleto sono reali. Come sono reali i pensieri nostri, quando ne leggiamo la tragedia. Ma fa parte dell’essenza vera della tragedia che solo i pensieri, i sentimenti, in Shakespeare e nei suoi lettori siano reali, e che non esista oltre a questi, un Amleto oggettivamente reale. Anche tenendo conto di tutti i sentimenti suscitati da Napoleone negli scrittori e al lettore di storia, non si sarà raggiunto Napoleone come uomo reale; nel caso di Amleto invece sì. Se nessuno avesse pensato ad Amleto, non sarebbe rimasto al mondo niente di lui; ma se nessuno avesse pensato a Napoleone, presto o tardi qualcuno si sarebbe comunque occupato di ciò che una certa persona aveva fatto.”
Sostanzialmente, Russell ci sta dicendo che la verità storica prevale su quella artistica, inseguendo Hegel, la logica di Hegel, e la sua svalutazione dei fantasmi letterari, ad eccezione di quelli che raffigura nel suo romanzo, la “Fenomenologia dello Spirito”. Caro Blogger, il tuo Russell non fa altro che scoprire l’acqua calda, e la sua logica analitica non è altro che una brutta copia di quella di Aristotele.
Ascolta la replica, Eudoxian: Russell ricalca la logica aristotelica con la sua filosofia analitica, ma il suo tentativo, azzoppato da Gödel e scoperto da lui stesso, di applicare gli assiomi della sua logica alla matematica, resta pur sempre un’impresa del pensiero. Russell è un matematico, ma anche un filosofo, che scriveva libri, per mantenere le sue quattro mogli e i relativi figli. Ed è pur vero che gli sia stato riconosciuto il premio Nobel per la letteratura, grazie alla sua “Storia della filosofia occidentale”, ma sopra ogni altro merito intellettuale, vale il suo impegno politico, per il quale dopo tutto viene ricordato. Che hai detto? Ho detto: “Ecco perché parlava di Napoleone.”
Non commento l’ultima battuta e concludo: “Il senso della realtà è vitale nella logica, e chiunque non prenda sul serio questo fatto, pretendendo di attribuire ad Amleto un tipo di realtà diversa da quella effettiva, fa un pessimo servizio al pensiero. Un senso robusto della realtà è veramente necessario nel costruire una analisi corretta delle proposizioni sugli unicorno, montagne d’oro, quadrati rotondi ed altri oggetti del genere. Obbedendo al senso della realtà, insistiamo nel dire che, nelle analisi delle proposizioni, non deve essere ammesso niente di irreale.”
E se non deve essere ammesso niente di irreale, come mai ne parliamo? È quello che si domanda anche Russell, imbattendosi in quella che conosciamo come l’aporia del niente, su cui tanti filosofi hanno creato sin dall’antichità i loro sistemi speculativi.
“Ma, dopo tutto, se non vi “è” niente di irreale, ci si può domandare, come si può ammettere qualcosa di irreale? La risposta è che nel trattare delle proposizioni, noi trattiamo in primo luogo con simboli, e se diamo significato a simboli che non significano nulla, cadremo nell’errore di ammettere delle irrealtà, nel senso solo possibile, cioè come oggetti descritti.”
Punto, ho capito, Blogger, adesso tira fuori la sua teoria delle “descrizioni”, il capitolo della “Introduzione alla filosofia matematica”, dove ne discute, e da cui hai tratto tutta la sua “estetica”, così la definirei, una sorta di logica dell’estetica. Comunque, risparmiati di leggere il seguito e di commentarlo in sintesi, lo dico io, in breve. Il soggetto grammaticale di una frase è la “descrizione”, prima fra tutte il nome proprio. È stato Aristotele, il primo a parlare di “Socrate” come costante logica, diciamo; da allora tutti i logici hanno usato e usano ancora questo nome, e fanno anche bene a ricordarlo. Ometto di dire “detto questo”, e quindi omissis, ti saluto, my dear blogger, e ridiscendo nel mio luogo tra le ombre. God be with you! Till we meet again!
POSTILLA
Riproduco la risposta esatta della IA al mio quesito di matematica. Nel linguaggio del testo, quindi uso l’espressione “equazione” in senso generico e non in linguaggio matematico. Questa precisazione tende anche a chiarire l’errata trascrizione della identità, ovvero l’equazione, (x + 1)2 = x2 + 2x + 1, invece di (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1.
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 equazione di primo grado esatto?
No, questa non è un'equazione di primo grado, ma si tratta di un'identità.
Sviluppo del quadrato: Se sviluppi il quadrato di binomio a sinistra (x + 1)^2, ottieni esattamente x^2 + 2x + 1.
Semplificazione: L'uguaglianza diventa x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x + 1.
Risultato finale: Sottraendo gli stessi termini da entrambi i lati, arrivi a 0= 0.Un'identità è un'uguaglianza sempre vera per qualsiasi valore di x. Nelle equazioni di primo grado, invece, la x non si annulla e trovi un solo valore come soluzione.
La precisazione della IA sull’inesattezza dell’uso del termine “equazione”, invece di “identità”, mi ha indotto ad approfondire l’argomento. E che cosa ho scoperto? L’acqua calda. No, l’acqua fredda, demone, in cui devi rinfrescarti la testa ogni volta che intervieni a turbare la linearità del mio discorso. Il mio demone, sappiamo che è lo spostamento del mio io al di fuori del mio io, un’oggettivazione dell’io soggettivo nel sé. Bon! Quindi che cosa ho scoperto consultando il sito web di seguito indicato?
https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/equazioni/3732-identita.html
Una identità, in matematica, è un’eguaglianza tra due espressioni algebriche uguali, dunque è verificata per qualunque valore dell’incognita, nell’insieme dell’esistenza delle soluzioni. Pertanto, nulla vieta di considerare l’identità come un’equazione.
In questo senso si può dire: 1) Le identità sono equazioni risolte per ogni x nell’insieme dell’esistenza delle soluzioni: 2) le identità sono equazioni indeterminate; 3) L’insieme soluzione di un’identità coincide con l’insieme esistenza delle soluzioni dell’identità.
Il testo del sito web, citato in sintesi, così prosegue: “Ovvio, no?” E inizia a fare degli esempi. A questo punto il mio demone non può perdere l’occasione d’intervenire sull’ovvio, irridendo il fatto che per lui l’ovvio non è ovvio, sottintendendo l’ignoranza dell’io, che egli come demone supporta – l’io invece non supporta il demone, al contrario lo sopporta, e in un certo senso è la stessa cosa: portare un peso.
Nell’occasione, il contrasto è a favore dell’io, che nel testo aveva già proposto il suo esempio, nella soluzione dell’eguaglianza che può essere definita, l’ abbiamo già visto, come un’equazione. L’io in questione è Eudoxian, che nella N. d. E., dimostra di aver capito il ragionamento matematico di Russell.
“Russell fa l’esempio della formula: (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1. Il significato di una tale formula non dipende dalla sostituzione di un numero al posto di x, ad es. 391, [noi l’avremmo fatta con un altro numero, N. d. E.], anche se implica che il risultato di una tale sostituzione è una proposizione vera.[…] Eudoxian chiuse il libro e guardò fuori dal finestrino, imbruniva. Mentalmente calcolò il valore dell’equazione portata a esempio da Russell, con i valori 1 e 2 e 3 al posto di x. Il risultato: 4 =4; 9 = 9 ; 16 = 16.”
Russell aveva indicato un numero che in quel momento, forse a caso, gli passava per la testa, Eudoxian i primi numeri naturali, i più semplici per un calcolo immediato.
Sul perché metto a confronto Russell con Eudoxian, e non me, in questa “Postilla”, e sul perché della scelta del numero 391 da parte del matematico inglese, cercheremo di indagare in un prossimo testo, una nuova stesura di “L’inconscio della scrittura.”
IL CLANDESTINO
Eudoxian aprì gli occhi. Che cosa era accaduto? “… qualisque videri / coelicolis et quanta solet.” Chi? Come? Eudoxian era disorientato, si sentiva come a + 9 = √81; poi i suoi valori risalirono subito a livello (x)(y), assestandosi su: x + 10 = (5)^2 (√16) – 10; y - 10 = (5)^2 (√16) +10. Non dimentichiamo che Eudoxian era un atleta e maratoneta. Era la bellezza della madre Venere: “Così bella, così grande, era solita mostrarsi agli dèi.” (Eneide, II, 968-9). Quando era stato trafitto sulla freccia rossa, Eudoxian [“si sentì esausto, come esaurito in un processo di esaustione”] aveva chiuso gli occhi ed era stato rapito in una celestiale visione, tanto da svenire. Ma era venuto in suo soccorso la dea, versandogli sulla lingua una goccia di liquore divino, rianimandolo e rinvigorendolo. In tale guisa aveva affrontato il colloquio con il vecchio saggio, volevo dire con il vegliardo, i.e. B = V, e V sta per “vegliardo”, vecchio non ancora decrepito. Bon! A chi non ha capito niente di questo improvviso passaggio dello spirito di Leibnitz (accenno al sogno di Teodoro, “Teodicea”) sul presente passaggio narrativo, dico di non preoccuparsi, anche agli dèi, D [d’, d’’, d’’…], e D = B, e B = C, tocca di andare in confusione. Intendiamoci, gli dèi D sono gli ispiratori del racconto, ma non C, anche se spesso appare Mercurio, una delle costanti d della classe D, ma anche altre d, più spesso i paredri del pantheon, cmq d’, d’’, d’’… e sull’argomento abbiamo detto quanto basta, anche se può apparire tutto così scoordinato. Inspiegabile appare, infatti, per il momento, l’ineguaglianza tra C e D, in contrasto con il principio matematico della proprietà transitiva, valida anche nella teoria degli insiemi.
Eudoxian aprì gli occhi. Il sole aveva invaso la stanza, era pieno giorno, ed egli si sentì finalmente riposato. Si alzò a sedere, stirò le braccia, infine saltò giù dal letto. Ma che cosa era accaduto nella notte? Aveva idee confuse, poi completamente sveglio, dopo il caffè, cominciò a riflettere e ricordò la scena della notte precedente. “Scusi, signore, che cosa ci fa qui?” Eudoxian guardò trasognato il ferroviere che l’aveva svegliato, la luce artificiale esterna illuminava a mala pena lo scompartimento vuoto al buio. Che cosa ci faccio qui? “Non può stare qui, deve scendere,” disse il ferroviere. Eudoxian si alzò, raccolse la borsa e uscì dallo scompartimento, attraversò il corridoio della carrozza, quindi aprì lo sportello del vagone e saltò giù dal treno sulla massicciata. Restò lì ad attendere, il ferroviere si era affacciato fuori dallo sportello e lo guardava, poi sembrò prendere una decisione e scese anche lui. “E allora?” domandò a quello stralunato viaggiatore. Eudoxian non rispose, il ferroviere si avviò lungo la massicciata: “Venga” disse. Eudoxian lo seguì fino agli altri binari dei treni, raggiunsero lungo la banchina l’atrio della stazione, quindi arrivarono all’ufficio di polizia ferroviaria, l’unico aperto nella notte della stazione illuminata e deserta.
“Dormiva nella carrozza della freccia rossa” disse il ferroviere all’agente che prese in consegna quello strano clandestino, che però non era tanto clandestino, perché aveva il biglietto Milano-Roma, regolarmente obliterato, il convoglio arrivato a Termini alle H 4(5) + 1,36 della sera prima. Ma che cosa è questa mania di indicare le cifre con espressioni aritmetiche ed equazioni algebriche? Come? Invece di dire 20, dici 4 x 5. Quatre-vingt? , io ho studiato alla Sorbona, e poi un po' di esercizi matematici non fanno male, specie se siamo in tema di logica matematica. Illogica matematica, vuoi dire, 4 x 20 = 80, che c’entra 4 x 5 = 20? Non hai capito. No, e non voglio capire.
Eudoxian aveva consegnato la borsa all’agente, che aveva provveduto ad estrarre un libro, un quaderno, il tablet, e altri effetti personali. Eudoxian, intanto, aveva estratto dal portafogli la carta d’identità, aveva letto: “Eudoxian, Roma, perito contabile.” L’agente gli aveva sfilato il documento dalle mani, aveva guardato la fotografia, poi l’aveva guardato in faccia, quindi aveva posato il documento sul tavolino. “Io vado” disse il ferroviere. “Un momento” disse l’agente, “il verbale”. Stava guardando il libro, lesse, in verità compitò: “Principia Mathematica”. L’agente alzò lo sguardo, poi interrogò. “È suo, questo?” “Bertrand Russell” disse Eudoxian. L’altro posò il libro, cominciò a sfogliare il quaderno, era pieno di calcoli e di numeri. L’agente guardò di nuovo Eudoxian: “Equazioni, teoremi, la geometria euclidea e le geometrie non euclidee” commentò lui. Ora sembrava riflettere sulle ultime parole dette. Da una porta interna, era entrato un ispettore, aveva l’aria di chi si era appena svegliato, forse a causa delle voci dei nuovi arrivati. In breve fu informato del viaggiatore sorpreso a dormire sul treno. “Ma nessuno l’ha svegliato?” domandò. “Io” disse il ferroviere, che stava messaggiando con il telefonino. “Dico, quando è arrivato il treno, ieri sera,” precisò l’ispettore. Dopo avere letto il messaggio, il ferroviere rispose: “Il mio collega dice che non c’era nessuno.” L’ispettore guardò Eudoxian: “Un sonno profondo!” esclamò. Guardava l’espressione trasognata di Eudoxian, sembrava uno cascato lì da un altro mondo. L’agente aprì il tablet, comparvero le immagini africane di Orunga, la dicitura delle donazioni, l’ispettore alzò le spalle: “Fai il verbale di accompagnamento e identificazione, e mandalo via” disse all’agente. Poi guardò il ferroviere, fece un gesto, come a dire: “Ma che l’hai portato a fare?” Quindi guardò l’orologio, H 03: 52, un leggero sbadiglio, e si ritirò, per continuare a dormire. Anche Eudoxian guardò l’orologio: x + y; x = √9; y -10 = 2^2 (3/2) (7). E poi non venite a dirmi che la proposizione F = E è falsa, dove F corrisponde al cugino Fernandez. Come? Se F – ψ’, ψ’’, ψ’’’… ed E – x’, x’’, x’’’ …, dove F è una sottoclasse di un elemento x di E, e ψ è simbolo di “psichiatria”, la corrispondenza biunivoca di un elemento ψ di F con un elemento x di E, rende la classe E equivalente alla classe F.
Ma Eudoxian non è pazzo. Sì, vero, è soltanto un maniaco, con la fissa delle equazioni e la teoria degli insiemi infiniti di Cantor, tradotti nelle classi di Russell. infatti, la sua mania per la matematica, nelle azioni quotidiane, può portarlo dritto a ψ, ricovero in reparto “psichiatria”, l’ispettore è stato troppo indulgente nel lasciarlo andare, anche se per precauzione di legge hanno stilato il verbale.
IL BLU DELLA FIAMMA
“Il quarto [paradosso di Zenone] è quello delle masse uguali che si muovono nello stadio in senso contrario a quello di altre masse uguali, le une dalla fine dello stadio, le altre dal mezzo, con uguale velocità. E con questo ragionamento, egli crede nel risultato che la metà del tempo sia eguale al doppio. Il paralogismo sta nel supporre che un eguale grandezza venga spostata con eguale velocità in un tempo uguale sia lungo ciò che è mosso sia lungo ciò che è in quiete.” (Fisica, Z, 9, 239b 32-35)
Eudoxian guardò il grafico da lui disegnato, a suo tempo, il tempo di Silvia Napoletano e quello del futuro genero Antonino Giannantonio e futuro matematico e ingegnere, nonché sposo dell’avvocato Giovanna Riccio.
Fig. 1
AA --------------------------------
-------------------BB----------------
-----------------------------------GG
Fig. 2
------------------AA-----------------
------------------BB-----------------
---------------GG-------------------
AA raggiunge GG, in metà tempo rispetto a BB, per il diverso sistema di riferimento: BB in quiete e GG in movimento contrario, Fig. 2, (ma considerato falsamente da Zenone in quiete al punto di partenza Fig.1). Da qui il paradosso di una stessa velocità e un tempo metà e doppio, per lo stesso intero percorso.
Mentre era applicato allo studio del problema, Eudoxian ricevette un SMS: “Vieni a casa. Annamaria.” Perduto com’era ancora dietro le immagini africane, le impressioni della sveglia nella notte, l’alba nella stazione ferroviaria deserta, il ritorno a casa, il sonno ristoratore, il quarto paradosso di Zenone, ed ora: “Vieni a casa.” Quale casa? La casa di Annamaria e di Evaristo defunto, frequentata un tempo da Fernandez ed Ettorino. Eudoxian andò a casa. Non appena aprì la porta, Annamaria gli prese il polso e lo trascinò subito nello studio di Evaristo, senza dargli il tempo di parlare.
B-g = P-g + 0,94
x/3 = √25
P-g [(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1]
Era accaduto tutto così in fretta e inopinatamente, e poi con la dovuta calma non era stato affatto difficile risolvere l’equazione (non la sola) lasciata irrisolta da Evaristo, che ora riposava sulla collina degli asfodeli.
x =15
P-g [16^2 = 15^2 +31]
P-g [256 = 256]
B-g = 256 + 0,94 = 256,94
Erano rimasti soltanto i simboli P-g e B-g da decifrare, forse Annamaria lo poteva aiutare. Si era fatto sera, la casa era nell’oscurità, sentì che lei stava in cucina. Entrò, l’ambiente era buio e risaltava la fiamma blu del gas, vedeva la sagoma della donna: “Non ti fermi a cena?” Eudoxian disse “256,94 euro”. “La bolletta del gas, mi fa piacere che l’hai risolta.” Ma non ancora pagata, pensò Eudoxian. La donna comprese subito il silenzio di quella risposta. Sì avvicinò a lui, nel buio le loro ombre si confondevano, riflesse dalla luce azzurra della fiamma, e di altri fuochi, “i fuochi blu”.
Quando lo zolfo brucia, sprigiona una fiamma bluastra. Il deserto di solitudine che si spalanca davanti a noi è il deserto del cuore, e il deserto può essere curato soltanto dal suo stesso principio parentale, il ruggito del leone nel deserto infuriante.
“Più grande è il nostro deserto, più grande deve essere il nostro furore, e quel furore è amore. Le passioni dell’anima rendono abitabile il deserto. Non abitiamo una grotta di rupi, bensì il cuore che è dentro il leone. Il deserto non è in Africa; è dovunque, quando si è disertato il cuore. I santi non sono morti; essi vivono nelle passioni leonine dell’anima, nelle immagini che ci tentano, nelle fantasie sulfuree e nei miraggi: la via dell’amore. Il nostro percorso attraverso il deserto della vita, o qualunque suo momento, è il risveglio alla vita come deserto, il risveglio della belva, sentinella del desiderio, la sua zampa famelica, infocata e insonne come il sole, esplosiva come lo zolfo, che incendia l’anima.”
MERAVIGLIOSA FAVOLA – INTERLUDIO
“Ehi, tu! Che ci fai qui?” “Vorrei sapere… mi hanno riferito… che qualcuno si voleva divertire alle mie spalle, nel week-end.” “Ma tu… chi…” “Io sono Eudoxian e sono salito fin “quassù”, per vederti finalmente in faccia.” “Torna immediatamente “laggiù” da dove vieni!” “Eh, già! Fammi vedere… Un vecchiardo, oh, pardon!” “No, dì pure così, non mi offendo.” “Un anziano uomo, che si “diverte”, lui sì che si “diverte”, a fantasticare, digitando come un forsennato sulla tastiera del suo computer, un vero e proprio “kibodi ya simba” (leone da tastiera), si dice così in swahili?” “Simba è leone, kibodi?” “Tastiera.” “Ah!” “Credevi, proprio, che non avessero le kibodi za kompyuta in Africa equatoriale?” “Bisogna chiedere alla nostra Silvia Napolitano e al suo amico Maurice Orunga.” “Hai ragione, comunque non sviamo il discorso, e torniamo a noi.” “Sì?” “Allora, dicevamo, tu, divino Blogger, da “quassù” ti diverti, digitando su kibodi za kompyuta, a fantasticare, creando favolosi mondi, non è vero?” “Sì, fantastiche favole, come la tua meravigliosa favola e quella dei tuoi meravigliosi consimili.” “Meravigliosa favola, hai detto?” “Sì, perché?” “Per te che la miri, con sguardo creativo da “quassù”, non per noi che la viviamo “laggiù”. Non è così?” “Non so, tra noi due, chi abbia un destino migliore.” “Dici tra il nulla e il nulla possibile?” “Tutto è Nulla. Ma se Tutto è Nulla, allora anche Nulla è Tutto.” “Che succede? Oddio che succede? Qui crolla tutto, è la fine del Mondo!”
IL RISVEGLIO
E allora? Chi è? L’hai spinto giù. Io? No, sei stato tu! Io o tu per me pari sono, io e tu siamo “Uno”, come è possibile, se c’è un uno, che vi siano due uno? Sì, d’accordo, la dicotomia di Zenone. Ma chi l’aveva convocato? Tu? Di nuovo? Ma… È arrivato all’improvviso! E come è arrivato così se n’è andato. E adesso dove sta? Laggiù! Dorme? No, si è svegliato, anzi l’hanno svegliato.
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