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‘Kde domov muj’? ‘Dov’è la mia patria?’ Non è un inno di guerra, non auspica la rovina di nessuno, canta senza retorica il paesaggio della Boemia con i suoi colli e pendii, le pianure e le betulle, i pascoli e i tigli ombrosi, i piccoli ruscelli. Canta il paese dove siamo a casa nostra, è stato bello difendere questa terra, bello amare la nostra patria (Milena Jesenskà)
Copenaghen
Bruxelles Louiza
“Dobbiamo pensare che ciascuno di noi, esseri viventi, è come una prodigiosa marionetta realizzata dalla divinità, per gioco o per uno scopo serio, questo non lo sappiamo." (Platone, Leggi, 1, 644e)
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GENERAZIONE QUARANTA
Non infrequentemente in alcuni miei spunti autobiografici, fatti scivolare qua e là nei miei testi, mi riferisco alla mia età, generazione anni Quaranta, che sarà pressoché estinta dopo l’olimpiade successiva (2036) a quella di Brisbane (2032), e solo pochi arriveranno a quella del 2040 (Roma?). Qualche sparuto lettore della mia generazione potrà trovare quindi conforto (o sconforto) in questi miei riferimenti, che non so se li divertano o irritino o un po' l’una e l’altra cosa. Inoltre, io mi rivolgo al mio medico, un mio fedele lettore…dici a me? Sì, a te. Si tratta del mio dèmone. Perché non si capiva? No, che tu fossi il mio medico. Ma come? Tu spesso dici di essere demente, quindi mi sembra ovvio che sei il paziente (Lafleur) di un medico psichiatra (Aleph). Quindi, anche stamattina, non sono ancora le tre, un’ora ancora buia, scivoliamo nel demenziale. Stamattina soltanto? alle due tre di notte del mattino crepino? che non è la terza persona plurale del congiuntivo presente del verbo crepare, ma un aggettivo di mio nuovo conio (sono un onomaturgo, come sappiamo) che condensa, nelle due sillabe estreme, la locuzione crepuscolo del mattino, con cui fa rima, quale parola piana e non sdrucciola. Quindi… ehi, non intervenire! Mattino crepino cretino. Eccolo là! E poi si definisce medico psichiatra. La pazzia è una malattia contagiosa, vedi certi isterismi, quando diventano collettivi. Dove? In piazza, allo stadio e altrove. Bon!
Spiego che l’idea di crepino, me l’ha ispirata il termine matematico coprimi (co-primi).
Riferimento: “Il nipote abiatico”, terzo paragrafo. “de Fermat aveva soltanto intuito, non era riuscito a dimostrare il suo teorema. Aveva pubblicato solo la dimostrazione per la quarta potenza, n = 4, provando che non esiste la possibilità per la terna a, b, c, con elementi a due a due coprimi, tale che c4 - b4 = a2, e quindi l’impossibilità della soluzione quadrata implicava quella della quarta.”
NUMERI COPRIMI
I coprimi (co-primi) sono una coppia di interi (a, b) che hanno il massimo comune divisore uguale a 1. MCD (a, b) = 1. Sono anche detti numeri relativamente primi ossia contemporaneamente primi tra loro. Non necessariamente i numeri co-primi devono essere numeri primi. Anche coppie di numeri "non primi" possono essere co-primi. Sicuramente, le coppie numeri primi sono co-primi. Tuttavia, il fatto che uno dei due numeri sia un numero primo, non necessariamente vuol dire che siano co-primi. Per capire se due numeri a b sono relativamente primi, basta costruire una frazione a/b, se la frazione è irriducibile allora sono coprimi. Esempi: I numeri 6 e 35 sono interi co-primi perché non hanno divisori in comune. MCD (6, 35) = 1 – I numeri 6 e 36 non sono co-primi perché hanno un divisore in comune (6).MCD (6,36) = 6.
https://www.andreaminini.org/matematica/interi-coprimi
TEOREMA di FERMAT per l'esponente 4.
L'Obiettivo e la Strategia
Il traguardo: Dimostrare che l'equazione x^4 + y^4 = z^4 non ha soluzioni con numeri interi positivi.
La generalizzazione: Per rendere la dimostrazione più potente, Fermat ha allargato il problema studiando l'equazione x^4 + y^4 = w^2.
Il quadrato: Ha notato che la quarta potenza z^4 può essere scritta come il quadrato di un altro numero: (z^2)^2.
La Logica della "Discesa Infinita"
Il metodo: Fermat ha dimostrato non esistono soluzioni intere per x^4 + y^4 = w^2.
La deduzione: Se l'equazione non ha soluzioni nemmeno quando la somma è un quadrato generico (w^2), a maggior ragione non potrà averle quando quel quadrato è un quadrato perfetto specifico (z^4).
La conclusione: Dimostrando l'impossibilità n=4, Fermat ha automaticamente escluso soluzioni per qualsiasi potenza multipla di 4.
LA DISCESA INFINITA
Il metodo della discesa infinita (introdotto da Fermat) è una forma di dimostrazione per assurdo. Funziona dimostrando che, se esistesse una soluzione intera a un problema, se ne potrebbe trovare un'altra strettamente più piccola, creando una catena infinita di numeri interi positivi decrescenti. Questo è impossibile, perché i numeri interi positivi non possono scendere all'infinito (devono fermarsi a 1).
Ecco i passaggi fondamentali del meccanismo logico:
L'ipotesi assurda: Si suppone che l'equazione abbia una soluzione nei numeri interi positivi. Tra tutte le soluzioni possibili, si sceglie la più piccola in assoluto (S₁).
La costruzione matematica: Attraverso passaggi algebrici (spesso legati alle proprietà geometriche o di divisibilità), si dimostra che partendo da S₁ è possibile ricavare una nuova soluzione S₂.
La contraddizione: La nuova soluzione S₂ risulta essere strettamente minore di S₁. Questo crea una contraddizione insanabile: avevamo stabilito che S₁ era già la soluzione minima.
Conclusione: Poiché non si può scendere all'infinito nell'insieme dei numeri interi positivi, l'ipotesi iniziale è falsa. L'equazione non ha soluzioni.
IL CERCHIO QUADRATO
Dopo il crollo di Fernandez, Ettorino rimase da solo a consultare il quaderno di zio Evaristo, il prezioso quadernetto da dove trarre ispirazione per teoremi ingenui di pronta soluzione o dove inoltrarsi in sconosciuti percorsi di elaborazioni matematiche o riflessioni di geometria, e scovò anche dell’altro Ettorino, di cui poi parliamo. Ma che cosa era accaduto? Fernandez era stato ricoverato in “psichiatria”.
“L'universo (che altri chiama la Biblioteca) si compone d'un numero indefinito, e forse infinito, di gallerie esagonali, con vasti pozzi di ventilazione nel mezzo, bordati di basse ringhiere. Da qualsiasi esagono si vedono interminabili piani superiori e inferiori. La distribuzione degli oggetti nelle gallerie è invariabile. Venticinque vasti scaffali, in ragione di cinque per lato, coprono tutti i lati meno uno; la loro altezza, che è quella stessa di ciascun piano, non supera di molto quella d'una biblioteca normale. Il lato libero dà su un angusto corridoio che porta a un'altra galleria, identica alla prima e a tutte. A destra e a sinistra del corridoio vi sono due gabinetti minuscoli. Uno permette di dormire in piedi; l'altro di soddisfare le necessità fecali. Di qui passa la scala spirale, che si inabissa e s'innalza nel remoto. Nel corridoio è uno specchio, che fedelmente duplica le apparenze. Gli uomini sogliono inferire da questo specchio che la Biblioteca non è infinita (se realmente fosse tale, perché questa duplicazione illusoria?), io preferisco sognare che queste superfici argentate figurino e promettano l'infinito...”
È l’incipit di un racconto fantastico di Borges: “La Biblioteca di Babele”. Un giorno, Fernandez, figlio di Alonso e Rigoberta, in verità Fernando nipote abiatico di Jorge e Zelma, nonché nipote di Mariela (sorella di Alonso), camminando per le strade di Buenos Aires, vide l’ingresso di un grande palazzo di stile barocco, la Biblioteca Universal de los Hexágonos, vi entrò, percorse numerose gallerie esagonali, salì e scese interminabili scale, s’incamminò tra gli enormi scaffali, vide uomini scagliare libri nei pozzi senza fondo al centro delle gallerie, sentì parlare lingue sconosciute dai frequentatori e lettori, cercò di comprendere i suoni sconosciuti, poi avvertì che la multiforme Biblioteca aveva prodotto essa stessa l'inaudito idioma necessario, e i vocabolari e la grammatica di questa lingua, che già da quattro secoli gli uomini degli esagoni parlavano. Non riuscì ad immaginare combinazioni di caratteri e sillabe che la divina Biblioteca non avesse previsto, e che in alcuna delle sue lingue segrete non si racchiudesse un terribile significato. Riuscì addirittura a scorgere la sentenza di Letizia Alvarez de Toledo, in cui veniva decretato che la vasta e infinita Biblioteca è inutile, bastando un solo volume, di formato comune, stampato in corpo nove o in corpo dieci, composto d'un numero infinito di fogli estremamente sottili, e sfogliandolo, ogni foglio apparente si sarebbe sdoppiato in progressione geometrica esponenziale all’infinito. Non ostante la conoscenza del decreto, Fernandez continuò a smarrirsi e a percorrere le infinite gallerie e gli infiniti corridoi e a scendere e salire le infinite scale. Non uscì più dalla Biblioteca Universal de los Hexágonos, che divenne da allora la sua vita, non esisteva altro, Fernandez pensava soltanto ai libri, dimenticava spesso di mangiare, dimagriva a vista d’occhio.
Un giorno di marzo, i genitori Alonso e Rigoberta accompagnarono in Svizzera il figlio perduto, e Alonso pregò il nipote Evaristo di accogliere Fernandez una volta guarito e così fu. Poi a causa della ricerca del manoscritto di Wiles contenente la soluzione del teorema di Fermat, un testo di 200 pagine, poi ridotto a circa 130, che ha consentito al suo autore di vincere il Premio Wolfskehl, una borsa di 50.000 dollari, come abbiamo visto, Fernandez ebbe una ricaduta, il trauma l’aveva turbato: “La Biblioteca Universal de los Hexágonos, Nuestra biblioteca no existe!”
Ma si riprese il cugino Fernandez, e ricominciò a frequentare la casa di Annamaria, dove incontrava il nipote, intrattenendosi entrambi nei loro colloqui di matematica, con riferimento al lascito spirituale di Evaristo. Poi accadde un nuovo incidente, Ettorino aveva prospettato (e non avrebbe dovuto, ma come faceva a saperlo?) allo zio un’eventuale soluzione del problema dell’esistenza Biblioteca Universal de los Hexágonos. Pensava di aiutare Fernandez. E come? La Biblioteca doveva dimostrare di non esistere, non bastava la mera asserzione, per decidere se fosse vera o falsa l’esistenza della Biblioteca. La risposta della Biblioteca fu tremenda, agghiacciante: “La mia esistenza non è dimostrabile.” Se era vero, la sua esistenza non poteva essere dimostrata; se era falso, dimostrando la sua esistenza, la Biblioteca avrebbe dato una risposta incoerente, dovendo accludere nella risposta anche la dimostrazione che la sua esistenza non era dimostrabile, in mancanza la risposta sarebbe stata incompleta. Era il teorema d’incompletezza di Kurt Gödel, Fernandez lo conosceva e cadde in un profondo stato di prostrazione, Ettorino non lo sapeva, ne ebbe contezza soltanto nell’occasione, e fu un po' contagiato dallo stato d’animo dello zio, il cugino della zia Annamaria. Fernandez ritornò in “psichiatria”, Ettorino Martin si concentrò sul quadernetto dello zio Evaristo. E che cosa scoprì?
IL QUÀDROLO
Costruzione matematica del quadrato circolare o cerchio quadrato.
“Qual è ‘l geomètra che tutto s’affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l’imago al cerchio e come vi s’indova.”
Paradiso, XXXIII, vv. 134-39
“Come il matematico si applica tutto
per misurare il cerchio e non lo trova,
pensando a quel principio che gli manca
tale ero io a quella nuova visione:
volevo vedere come accadde
che l’immagine terrena s’inscrivesse nel cerchio
[il quadrato della terra nel cerchio del cielo]”
Cerchio – C = 2 π r; A = r2 π .
Quadrato – P = L x 4; A = L2.
Euclide, Elementi, Definizioni
“Punto è ciò che non ha parti”. È un ente geometrico senza dimensioni (dal latino de-mensus, misura). Il punto è senza misure (parti), e quindi non è misurabile, ma interviene nella misurazione della linea.
“Linea è lunghezza senza larghezza”. Ente geometrico unidimensionale, estensione direzionata dx-sx.
“Estremi di una linea sono punti”. Rilevazione del punto come limite. È rilevabile anche dall’incrocio tra due linee o su una linea.
“Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su essa.”
Cantor, Teoria degli insiemi infiniti attuali
Aleph-0, infinito numerabili o quantizzati, numeri interi.
Alep-1, infinito continuo, numeri reali e punti su linea.
Aleph-2, infinito delle curve geometriche.
L’insieme dei numeri reali, aleph-1, contiene insiemi aleph-0, interi naturali, e insiemi aleph-1, non interi, comprendenti numeri razionali, aleph-0, e irrazionali, aleph-1.
La circonferenza e l’area del cerchio è data da un numero irrazionale, livello aleph-1, il perimetro e l’area del quadrato è data da un numero intero, livello aleph-0.
Il perimetro circolare o circonferenza perimetrale e l’area del quàdrolo è data dalla corrispondenza e prodotto dell’insieme infinito dei punti su una linea, aleph-1, e l’insieme infinito di punti sulle curve geometriche, aleph-2 .
Circonferenza del cerchio: C-zero – c1, c2, c3, … cn, …
Perimetro del quadrato: P-zero – p1, p2, p3, … pn, …
Circolo perimetrale del quàdrolo: C-zero ≅ P-zero
Dimostrazione
L’equivalenza tra l’insieme infinito C-zero dei punti su linea curva e P-zero, l’insieme dei punti su linea retta, è data dall’orientamento dei punti. Il punto ha direzione EO e NS sui quattro cardinali N-O-S-E. Nella costruzione del quàdrolo, l’insieme infinito dei punti si compone nei termini dell’equivalenza data, C-zero ≅ P-zero, risultando alla fine la figura di un quadrato o di un cerchio, a seconda della direzione retta o curva intrapresa nel disegno ideale della linea. In figura, l’equivalenza non è misurabile con riga e compasso, ma soltanto intuita e dimostrata matematicamente (matematica cantoriana). In tal senso, il teorema del quàdrolo non viola il criterio tradizionale dell’impossibilità della quadratura del cerchio.
NOTE
1) A proposito della matematica degli infiniti di Cantor, nel 1940, Kurt Gödel scopre che per gli insiemi infiniti “costruibili” è possibile dimostrare che il livello dell’infinito continuo (aleph-uno) è separabile dal livello dell’infinito numerabile aleph-zero. Nel 1963, Paul Cohen scopre che per gli insiemi infiniti “non costruibili” la così detta “ipotesi del continuo” non vale.
2) Archimede (III sec. a.C.) aveva dimostrato che un cerchio è equivalente a un triangolo rettangolo, in cui l’altezza è uguale al raggio del cerchio e la base alla circonferenza, ossia l’equivalenza tra una figura curvilinea ed una rettilinea.
3) Si deve ancora molto lavorare sul calcolo degli insiemi infiniti di Cantor, studiarne le dimostrazioni, non dimostrate nel “quàdrolo”
GLI INSIEMI INFINITI
La dimostrazione “matematica” dell’esistenza del quàdrolo, il cerchio quadrato, rifletteva Ettorino, condividendo i dubbi dello zio Evaristo, espressi da lui stesso nel formulare il suo teorema, non era certo in grado di risolvere il problema “mistico”, che si poneva dal Medio Evo, di far aderire il quadrato della Terra al cerchio divino del Cielo. Ma soprattutto lasciava molto a desiderare la dimostrazione, non era una dimostrazione era un abbozzo di enunciazione del problema. Era mai possibile che lo zio Evaristo avesse potuto annotare quelle poche righe e definirle la dimostrazione matematica di un teorema ritenuto da sempre irrisolvibile? Anche se poi l’equivalenza tra l’area del cerchio e quella di un poligono (triangolo) era già stata trovata da Archimede, che aveva indicato la strada per il calcolo degli infinitesimali già (2x + 23 = 24 + 42 - x) secoli fa? Ettorino esitò, era esatta l’equazione lineare che indicava la distanza in secoli tra il teorema di Archimede e quello di Evaristo? Scusate, non il teorema, ma l’enunciazione… il tentativo… il calcolo… l’approccio… dello zio. Ettorino capì che la testa gli girava, riprendiamoci e risolviamo l’equazione: 2x + 8 = 16 +16 - x. Allora, 2x = 32 - 8 - x; aggiungiamo + x al primo e al secondo membro dell’equazione, abbiamo 2x + x = 24 - x + x; 3x = 24; x = 24/3; x = 8. Ora facciamo la verifica: 2 per 8, 16, + 2 al cubo, 8, fa 16 + 8 = 24; quindi 2 alla quarta, 16, + 4 al quadrato, 16, fa 32 - 8 = 24; l’equazione è soddisfatta 24 = 24. Archimede aveva indicato la strada per il calcolo degli infinitesimali già 24 secoli fa, e ci voleva tanto a dirlo!
Comunque, Ettorino era contento di avere risolto l’equazione di primo grado, che indicava la distanza in secoli tra Archimede e lo zio Evaristo. Ma la quadratura del circolo, quella no! Non era ancora roba per Ettorino: bisognava cimentarsi prima con la matematica degli insiemi di Cantor, e in maniera un po' meno superficiale.
(Segue)
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