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Copenaghen
Bruxelles Louiza
“Dobbiamo pensare che ciascuno di noi, esseri viventi, è come una prodigiosa marionetta realizzata dalla divinità, per gioco o per uno scopo serio, questo non lo sappiamo." (Platone, Leggi, 1, 644e)
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OSSERVATORIO ASTRONOMICO
Alle ore 05,08, di questa mattina, l’alba a breve, sono andato a guardare nel riquadro, in alto a destra della mia finestra, il mio personale osservatorio astronomico, e l’ho vista brillare là dove sapevo di trovarla: la luna piena di agosto, impercettibile il suo inizio ormai avviato di luna calante. Ometto considerazioni di astronomia, astrofisica, astrologia e filosofia, che il fenomeno celeste mi ispira. Oggi è tardi, è ancora l’alba, e fa già caldo, ne parliamo un’altra volta.
REGRESSUS IN INFINITUM
La dicotomia ovvero la divisione di uno in due è una contraddizione. Argomenta Zenone: l’uno diventa uno e uno, ogni successiva dicotomia comporta sempre molti uno, ma molti uno, la molteplicità dell’uno è impossibile. Se uno è uno, non può essere uno e molteplice, una contraddizione logica. Per Aristotele, però, un tale modo di argomentare non è un sillogismo, ragionamento logicamente corretto che congiunge termini diversi, ma un paralogismo, ovvero un falso sillogismo, ragionamento errato quanto alla forma, a causa della presenza di un termine medio non univoco, avente significati diversi in ciascuna delle premesse. E così confuta i paralogismi di Zenone.
“Quattro sono i ragionamenti di Zenone intorno al movimento, che mettono di cattivo umore quelli che tentano di risolverli. Il primo intende provare l’inesistenza del movimento, per il fatto che l’oggetto spostato deve giungere alla metà, prima che al termine finale.” (Fisica, Z, 9, 239b, 10-15) “Il ragionamento di Zenone erroneamente presuppone l’impossibilità che si possano percorrere gli infiniti o che possano toccarsi ciascuno successivamente in un tempo finito. Difatti, tanto la grandezza, quanto il tempo e in generale ogni cosa continua si dicono infiniti in due sensi, cioè o per divisione o per gli estremi. Pertanto, gli infiniti che sono tali secondo la quantità, non possono toccarsi in un tempo finito; quelli, invece, che sono tali secondo la divisione, lo possono, perché il tempo stesso è infinito sotto questo aspetto. Sicché nell’infinito, e non già nel finito, capita che si percorra l’infinito, e che gli infiniti si tocchino con gli infiniti, e non con i finiti.” (Fisica, Z, 233a, 20-30)
È l’ipotesi della regressus in infinitum, dove l’intero diviso contiene già tutte le sue parti, prima della divisione, e pertanto viene percorso all’infinito in tutte le sue parti infinite. L’ipotesi logica è resa matematicamente nella divisione dell’uno in metà sempre successive, che formano la serie infinita: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32… e così via. Soltanto all’infinito si potranno percorrere tutte le parti. Nella successione dei numeri naturali, tra un numero e il suo successore, troveremo sempre una serie infinita di numeri. Tra 1 e 2, per esempio incontriamo una serie infinita di numeri reali: 1… 1,1… 1,2… 1,3… e così via; come anche tra 1 e 1,1, dove incontriamo 1… 1,01… 1,001… 1,0001… e così via. Mettendo in corrispondenza tra loro le diverse serie infinite di numeri, Cantor ricavò la sua matematica degli insiemi infiniti.
È questo il ragionamento di Russell, che così scrive nei “Principia Mathematica” (328): “Si può mettere quest’argomento in forma aritmetica […]. Consideriamo una variabile x suscettibile di assumere tutti i valori reali (o razionali) tra due limiti assegnati , per esempio 0 e 1. La classe dei valori è un tutto infinito [insieme], le cui parti sono logicamente anteriori ad esso, perché esso ha delle parti, e non può sussistere se manca qualcuna di tali parti. Così numeri tra 0 e 1 presuppongono quelli tra 0 e 1/2, questi presuppongono quelli tra 0 e 1/4, e così via. Sembrerebbe quindi che nella nozione di un tutto qualunque infinto si celi un regresso infinito; ma i numeri reali non possono essere definiti senza dei tutti infiniti siffatti, perciò viene a mancare la continuità aritmetica che si applica a una serie infinita.”
La continuità aritmetica dei numeri interi, più esattamente la progressione aritmetica dei numeri interi naturali è stata sempre considerata un infinito potenziale, perché suscettibile di un accrescimento all’infinito. Se mettiamo questa serie infinita dei numeri naturali in corrispondenza con quella infinita della progressione zenoniana scopriamo, in verità lo scoprì Cantor, che esistono questo e altri infiniti, oltre quello della serie dei numeri naturali. E così può dirsi di tutte le progressioni dei numeri razionali e altre progressioni, ad es. i numeri primi, i quadrati, i cubi, i pari, i dispari e altre infinite serie, ordinate secondo criteri progressivi prefissati. Cantor definì queste progressioni insiemi infiniti in atto, numerandoli e ordinandoli secondo potenze crescenti, aleph-0, aleph-1, aleph-2 e oltre all’infinito.
Russell, venuto a conoscenza della dottrina degli insiemi infiniti di Cantor, ha ritenuto di poter costruire con pochi principi logici tutte le definizioni della matematica e anche alcuni principi della fisica teorica. In una tale ottica, può scrivere: “I numeri reali non possono essere definiti senza dei tutti infiniti siffatti.” Quindi per superare l’aporia del regressus in infinitum si avvale di strumento logici e matematici.
“Un regresso all’infinito può essere di due generi. Nel genere che si presta ad obiezioni, due o più proposizioni si uniscono a costituire il “significato” di qualche proposizione; di queste componenti esiste almeno una, il cui significato è composto alla stessa maniera; e così via ad infinitum.” (“Principia mathematica”, 329)
Siamo nel campo della progressione infinita, che nel latino medievale della filosofia scolastica (progressus in infinitum o regressus in infinitum) indica un modo di argomentare che finisce per essere circolare. Volendo spiegare una idea si ricorre a un termine, che però rinvia ad un altro termine, il quale a sua volta rinvia a un nuovo termine e così via. “Prendiamo per esempio la seguente definizione: “Si dice che due persone hanno la stessa idea, quando hanno idee simili, e le idee sono simili, quando contengono una parte identica.” Se un’idea può avere una parte che non sia un’idea, una definizione del genere non va incontro a obiezioni logiche; ma se la parte di un’idea è sempre un’idea, allora la stessa definizione deve essere sostituita nel secondo punto, in cui si parla di identità di idee e così via. Quindi, ogni volta che è in questione il significato di una proposizione, un regresso infinito non può essere ammesso, dato che non si raggiunge mai una proposizione che abbia un significato definito.” Russell prosegue con un ragionamento sull’implicazione: “Se A è una proposizione, il cui significato è perfettamente definito, e A implica B, e B implica C, e così via, abbiamo un regresso infinito di tipo assolutamente indiscutibile […] ma non ne segue che ogni proposizione implicata da A sia parte di A.” Manca una necessità logica di completare il regresso infinito, prima che A acquisti un significato. Una tale osservazione serve a dimostrare che questo tipo dell’implicazione delle parti nel tutto appartiene anche agli insiemi infiniti di numeri, che Russell chiama classi.
Arrivati a questo punto, succede un fatto strano. Eudoxian, nella sua tesina sui paralogismi di Zenone (non paradossi, come sono comunemente conosciuti) da inviare al genero di Silvia Napolitano, ha fatto una gran confusione, con quel suo scopiazzare qua e là, rendendo il testo ridondante… Un momento! Eh? Ma tu chi sei? Io, caro lettore, anzi care lettrici e cari lettori, rispettiamo la parità di genere, per favore, non facciamo come quello del sofà orientale… ma non lasciamoci fuorviare, restiamo nella nostra storia. Eudoxian, con questo mio intervento “dall’alto”, un atto autoritario, l’ho dovuto estromettere dalla narrazione come io-narrante, perché non era più in grado di reggere il suo ruolo, ma anche per un altro motivo, di cui dirò, ed invero siamo tutti soggetti ad Ananke, la Necessità (del narrare).
Quindi Eudoxian, ma diciamo pure familiarmente Eudosso, come affettuosamente si rivolge a lui con questo nome Annamaria (la vedova di Evaristo), va a consultare il testo di Russell… Ehi, nuovo narratore? Che vuoi? E se viene un altro narratore e ti soppianta, che cosa accade? Accade che anche l’altro possa essere soppiantato, e così via, siamo al regressus in infinitum. Quindi vediamo come uscirne, anzi vediamo come ne esce Russell. Allora, fai come Eudoxian? Sì, ma non sono Eudoxian, e questa è una differenza non da poco, anche se magari appare come un espediente. Qui, il nostro eroe avrebbe fedelmente ricopiato il testo, ma noi non abbiamo tempo da perdere. E perché? Dobbiamo correre dietro a Silvia Napoletano. Lo immaginavo. Dobbiamo prendere l’aereo il più veloce, il supersonico, per raggiungere la nave tartaruga marina. E come? Non lo sai? Da tempo la Griechenland è partita da Gibuti, ha attraversato il Golfo Persico, ed è sbucata nell’Oceano Indiano, quindi ha aggirato il Corno … come? … Il Corno d’Africa. Ah! E ora? La nave è in navigazione verso Mombasa. Allora affrettiamoci. Per andare dove? All’aeroporto di Fiumicino, non dobbiamo, noi Achille, prendere il volo e raggiungere Silvia, la tartaruga del mare? Certo, per Zeus! Ti seguo.
POSTILLA
Nel pubblicare un seguito, questo seguito, uno dei seguiti di “Eudoxian”, infatti ve ne sono altri, ma non all’infinito, mi sono posto il dubbio se l’espressione “Regressus in Infinitum” fosse esatta rispetto all’altra più comunemente usata di “regressus ad infinitum”. Il dubbio me l’ha risolto la IA, che ai miei tempi, voglio dire i tempi in cui scrissi “Eudoxian”, non esisteva ; ma esisteva la filosofia scolastica, da cui avevo ripreso il mio titolo filosofico, come spiega la IA:
“Entrambe le espressioni sono corrette e usate in filosofia, ma regressus in infinitum è la formula scolastica classica e più comune per indicare un rimando all'indietro senza fine. Differenze e Utilizzo.
Regressus in infinitum: Significa "regresso nell'infinito". Indica un procedimento logico o causale che torna indietro all'infinito (come nella ricerca di una causa prima o nell'argomento del terzo uomo di Aristotele).
Regressus ad infinitum: Significa "regresso verso l'infinito". Si usa spesso come sinonimo nel linguaggio comune e filosofico per descrivere un processo che continua a muoversi indefinitamente verso una meta irraggiungibile. In breve, la tradizione filosofica preferisce in infinitum, mentre ad infinitum è più generale e affine all'avverbio "all'infinito".
LA LUCE CREPUSCOLARE
Come possiamo notare, nell’ultima parte del testo interviene il narratore, estromette Eudoxian come io-narrante, e parla in prima persona, secondo la buona abitudine: “Ubi maior, minor cessat”, un brocardo latino che ritroveremo in un mio prossimo racconto, di cui ho abbozzato l’idea generale, disegnata sulla protagonista, comunque poi vedremo. E stando nel tema, come si vede, il narratore non è ibero come crede di decidere secondo il suo libero (?) arbitrio, ma viene attratto e coinvolto nella trama narrativa, che lui inventa (trova sul suo cammino, “invenio”, invento, letteralmente vengo-in, mi trovo innanzi). Nel nostro caso il “progressus in infinitum” è la correzione di un errore: “Ehi, nuovo narratore? Che vuoi? E se viene un altro narratore e ti soppianta, che cosa accade? Accade che anche l’altro possa essere soppiantato, e così via, siamo al regressus in infinitum.” Un progresso o un regresso? Un errare.
L’’errore, infatti, corrisponde all’errare in quella luce crepuscolare del sentiero dove errano i mortali – vedi “Il viandante notturno”.
LA GIRAFFA E LA NEVE
Nel riformulare la dottrina degli insiemi infiniti di Cantor, Russell espone i suoi concetti di classe, distinguendo la classe estensionale, dove vengono enumerati tutti i termini della classe, e la classe intensionale, quella che rappresenta i termini enumerati come un tutto definito. Un tutto essenziale, nell’ambito delle possibilità umane, è un tutto finito, e non è possibile enumerare più di un numero finito di parti di un tutto; e se il numero delle parti è infinito, questo deve risultare diversamente dall’enumerazione. E l’impossibilità si supera con il concetto di classe intensionale, per cui qualsiasi termine infinito apparterrà oppure no a quella classe, come quella dei “numeri reali tra 0 e 1” [l’infinito del paradosso di Zenone]. Essi formano una classe definita, ove si conosca che cosa s’intende per “numero reale”, per “0”, per “1”, per “tra”. I singoli elementi della classe e le classi minori in essa contenuti non devono considerarsi logicamente anteriori alla classe stessa, pertanto il regresso infinito perde il suo senso, perché ogni segmento di numeri reali o razionali ha le parti che sono a loro volta dei segmenti, a loro volta non anteriori alla classe, quindi compresi in essa. Così risolve Russell il primo argomento di Zenone. Ma non lo sapevamo anche noi? Non lo sapeva anche Eudoxian? Che motivo avevate di estrometterlo dalla cabina di regia della narrazione? La cabina di regia? Ma che dici?
(Segue)
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